Aufgaben, Blätter 4-5

Einfu
¨ hrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
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Ubungsblatt
Nr. 12
8. Juli 2015
Hinweis: Dieses Aufgabenblatt wird nicht mehr gewertet!
45. Eine Zufallsvariable X sei exponentiell mit Parameter λ > 0 verteilt. Fu¨r
welche µ ∈ R existiert E[exp(µX)]? Fu¨r welche µ ist die Zufallsvariable
exp(µX) integrabel? Bestimmen Sie in diesen F¨allen E[exp(µX)]!
46. Sei Q = [0, 1] × [0, 1] und A ⊆ Q ein Gebiet mit der Fl¨ache |A|. Sei außerdem Xn, n ∈ N, eine Folge unabha¨ngiger, in Q gleichverteilter Zufallsvariablen und sei Yn = IA(Xn), n ∈ N. Bestimmen Sie die Erwartungswerte
P
und die Varianzen der Zufallsvariablen SN = (1/N ) N
k=1 Yk , N ∈ N!
Inwiefern ist Ihr Resultat praktisch anwendbar?
47. In einer durch Erdbeben gef¨ahrdeten Region werden an n aufeinanderfolgenden Tagen a1, . . . , an Erdst¨oße gemessen. Modellieren Sie die Anzahl
der Erdbeben an einem durchschnittlichen Tag und geben Sie einen erwartungstreuen Sch¨atzer fu¨r die mittlere Anzahl der Erdbeben pro Tag
an!
48. Bestimmen Sie das dritte und vierte Moment einer Normalverteilung mit
Erwartungswert µ und Varianz σ 2!
49. Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit E[X 2] < ∞. Fu¨r welche a ∈ R
ist die mittlere quadratische Abweichung E[(X − a)2] minimal?
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50. Sei X eine exponentiell verteilte Zufallsvariable mit dem Median m. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX von X!
51. Betrachten Sie den Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B([0, 1]), P), wobei P
die Gleichverteilung auf [0, 1] ist. Konstruieren Sie auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum eine Folge von Zufallsvariablen Xn, n = 1, 2, . . . , so daß
(i) P[Xk = 0] = P[Xk = 1] = P[Xk = 2] = P[Xk = 3] = 1/4,
k = 1, 2, . . . , und
(ii) die Zufallsvariablen Xn, n ∈ N, stochastisch unabh¨angig sind!
52. Berechnen Sie fu¨r die in 0 startende symmetrische Irrfahrt (Xn)n∈N0 in Z
die Wahrscheinlichkeiten P[Xn = 0], n = 0, 1, 2, . . . , und bestimmen Sie
mit Hilfe der Stirlingschen Formel deren Asymptotik bei n → ∞!
53. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf N0 = {0, 1, 2, ...} sei durch (pk )k∈N0
beschrieben, d.h., µ[{k}] = pk , k ∈ N0. Die erzeugende Funktion φµ von
µ ist definiert durch
φµ (s) =
∞
X
pk sk ,
s ∈ [0, 1].
k=0
(a) Bestimmen Sie die erzeugenden Funktionen von geometrischer Verteilung und von Poisson-Verteilung!
(b) Welche Informationen u¨ber µ liefern Ihnen die n-ten Ableitungen,
n = 0, 1, . . . , von φµ in 0 und in 1? Wann existieren diese Ableitungen?
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Ubungsblatt
Nr. 13
15. Juli 2015
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54. Sei h : R → R ein Polynom. Beschreiben Sie ein Monte-Carlo Verfahren
R∞
zur numerischen Bestimmung von −∞ dx exp(−x2)h(x)! Zeigen Sie die
Konvergenz des Verfahrens!
55. Beim zweimaligen unabh¨angigen Wurf eines Wu¨rfels seien X1 und X2 die
Augenzahlen. Bestimmen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten
P[max{X1, X2} = k|X1 = l],
k, l ∈ N!
Erl¨autern Sie Ihre Ergebnisse und geben Sie diese in einer u¨bersichtlichen
Tabelle an!
56. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß bei einem dreimaligen,
unabha¨ngigen Werfen eines Wu¨rfels mindestens einmal eine 3 erscheint,
unter der Bedingung, daß auch zumindest eine 6 geworfen wird?
57. X und Y seien unabh¨angige, N0-wertige Zufallsvariablen mit P[X = k] =
P[Y = k] = (1 − p)k p, k ∈ N0, wobei p ∈ (0, 1). Berechnen Sie P[X =
k|X + Y = l], k, l ∈ N0!
58. Xn, n ∈ N, seien nicht f.s. konstante, i.i.d. Zufallsvariablen. Existiert fu¨r
einen der u¨blichen Konvergenzbegriffe limn→∞ Xn?
59. Sei A ⊆ R2 beschr¨ankt. Bestimmen Sie die Fl¨ache |A| von A mit einem
Monte-Carlo Verfahren!
60. Sei X eine beschr¨ankte reellwertige Zufallsvariable. Beweisen Sie
P[|X| ≥ a] ≤ E[exp(|X|)] · exp(−a)!
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61. Sei X eine standard normalverteilte Zufallsvariable.
(a) Fu¨r welche α ≥ 0 besitzt die Zufallsvariable Y = exp(αX) eine Dichte
bzgl. des Lebesguemaßes? Berechnen Sie diese!
(b) Fu¨r welche α ≥ 0, bzw. β ≥ 0 sind die Zufallsvariablen Y = exp(αX),
bzw. Z = exp(βX 2) integrabel?
62. Sei K = ω = (ω1 , ω2) ∈ R2 : ω12 + ω22 ≤ 1 der Einheitskreis in R2 und
B(K) die Borelsche σ-Algebra in K.
(a) Welche Dichte hat die Gleichverteilung PK in K?
(b) Sei (R(ω), Θ(ω)) die Darstellung von ω ∈ K in Polarkoordinaten.
R und Θ ko¨nnen als Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (K, B(K), PK ) betrachtet werden. Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von R und Θ durch Angabe von
PK [R ≤ r, Θ ≤ θ],
r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π)!
Was f¨allt Ihnen auf?
63. Ein Paar fairer Wu¨rfel soll so lange geworfen werden bis beide die gleiche
Augenzahl zeigen. Hierbei seien alle Wu¨rfe unabha¨ngig. Bestimmen Sie
fu¨r n ∈ N die Wahrscheinlichkeit, daß das Wu¨rfelpaar mindestens n mal
geworfen werden muß!
64. Seien x1, . . . , xN viele zuf¨allige“ Zahlen mit 2 Nachkommastellen. Mr.
”
P
Lazy benutzt als Sch¨atzer fu¨r die Summe dieser Zahlen die Formel N
k=1 xk
P
∼ N
k=1 ⌊xk ⌋+N/2. In welchen Situationen ist diese Formel sinnvoll, wann
nicht?

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