Üb 7

M1, SS 2015, Übungszettel 7 In diesem Zettel werden in der ersten entsprechenden Woche nur Probleme 20, 21 und 23 gekreuzt; 24, 25 und 26 in der zweiten Woche. Problem 22 ist für Selbststudium.
Problem 20: Berechnen Sie die Faltung f ?g , wenn möglich, von den folgenden Paaren von Funktionen:
a) f (x) = x, g = 1[0,1] ;
b) f (x) = e x , g = 1[0,1] ;
c) f (x) = g (x) = e x ;
d) f (x) = e x 1[0,∞) (x), g (x) = e x .
Problem 21:
1. Sei f gerade oder ungerade, g gerade oder ungerade, was kann man über f ? g sagen?
2. Berechnen Sie die Faltung 1[−1,1] ? 1[−1,1] . [Hinweis: die Rechnung wird kürzer wenn Punkt 1.
hingesichtigt wird.]
3. Berechnen Sie F [1[−1,1] ? 1[−1,1] ]. [Hinweis: Benutzen Sie der Faltungssatz.]
4. Für a 6= 0 sei S a definiert als S a f (x) = f (a −1 x). Zeigen Sie dass S a S b = S ab , und für a > 0
S a f ? S a g = aS a ( f ? g ).
5. Berechnen Sie die Faltung 1[−2,2] ? 1[−2,2] . [Hinweis: die Rechnung wird kürzer wenn Punkte 2
und 4 hingesichtigt werden.]
6. Sei T a definiert als T a f (x) = f (x − a). Zeigen Sie dass T a Tb = T a+b , T a f ? Tb g = T a+b ( f ? g ).
7. Berechnen Sie die Faltung 1[0,1] ? 1[0,1] . [Hinweis: die Rechnung wird kürzer wenn Punkte 2, 4
und 6 hingesichtigt werden.]
Problem 22: Sei
Z∞ Zt
f (t , x) =
¡
¢
ĝ (s, k) · exp k 2 · (s − t ) + i · k · x d s d k .
(1)
−∞ s=0
Zeigen Sie dass
Z
f (t , x) =
t
1
(x−y)2
Z
p
s=0 4π(t − s)
1
y∈R
g (s, y)e − 4(t −s) d y d s ,
(2)
und dass f eine Lösung der Wärmeleitunggleichung mit Quelle ist:
∂f
∂2 f
= 2 + g (x, t ) .
∂t
∂x
[Hinweis: Wir erinnern zu diesem Zweck an die Formel, für a > 0 und b ∈ R:
q
b2
e − 4a πa . Sie können diese Formel ohne Beweis verwenden.]
(3)
R
Re
−ak 2 i bk
e
dk =
Problem 23: Finden Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen, und drücken Sie
die Antwort in Polarform aus:
1. z 2 − 1 + i = 0
2. z 6 = 1
3. z 6 + z 3 + 1 = 0
4. i + e z = 0
5. sinh z = 0
Problem 24: Bestimmen Sie das Definitionsgebiet der folgenden Funktionen und bestimmen Sie
das Gebiet, wo diese Funktionen holomorph sind:
z 7→ z; z 7→ z; z 7→ |z|2 ; z 7→ ℜz (Realteil von z); z 7→ z n , für n ∈ Z; z 7→ z 2 + 1; z 7→ 1/(z 2 + 1); z 7→
sinh2 (z 2 ); z 7→ ln z := ln |z|+i arg z, mit arg z ∈ (−π, π); z 7→ z α := e α ln z , mit α ∈ C und arg z ∈ (−π, π).
Problem 25: Bestimmen Sie das Definitionsgebiet der folgenden Funktionen und bestimmen Sie
das Gebiet, wo diese Funktionen holomorph sind: z 7→ z n z m , für n, m ∈ Z, m 6= 0; z 7→ exp(z + z 2 ).
[Hinweis: Führen Sie einen Widerspruchs-Beweis]
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