Zusatztutorium I Gemischte Aufgaben: Löse die folgenden

Zusatztutorium
-Sophiane Yahiatene-
I Gemischte Aufgaben: Löse die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen
3ẋ + x2 +
2
x2
=0
II Lipschitzstetigkeit:
A: Sei Ω ⊆ Rn offen und f : Ω −→ Rm . Beweise:
k
Sind alle partiellen Ableitungen ∂f
∂x in Ω stetig, so ist f lokal Lipschitzstetig.
j
B: Skizziere den Beweis vom Existenzsatz von Picard-Lindelöf?
C: Führe für ẋ = t − x2 ; x(0) = 0 und ẍ = 4x; x(0) = 1; ẋ(0) = 2 die Picard-Iteration bis mindestens
zum dritten Iterationsschritt durch.
D: Warum ist das System von Differentialgleichungen ẋ = A(t)x + B(t) für A ∈ C(J, Rn×n ); B ∈
C(J, Rn ) eindeutig global lösbar?
III Systeme: Seien A ∈ End(Kn×n ), B ∈ Kn und x1 , ..., xn Lösungen der Differentialgleichung ẋ = Ax.
A: Zeige: x1 , ..., xn sind genau dann linear unabhängig, wenn x1 (t), ..., xn (t) für alle t ∈ J linear
unabhängig sind.
B: Sei x̃ eine spezielle Lösung des Systems ẋ = Ax + B, so ist die allgemeine Lösung x = x̃ + c1 x1 +
... + cn xn mit ci ∈ K.
C: Reduziere die Differentialgleichung x(n) + an−1 x(n−1) + ... + a1 ẋ + a0 x = 0 auf ein System 1.
Ordnung.
D: Zeige: exp(At) löst die Differentialgleichung ẋ = Ax.
E: Bestimmt ein reelles Fundamentalsystem der Systeme:
3 −1
ẋ =
x
4 −1


1 −1 −1
0  x (Eigenwerte : 1, 1 ± 2i)
ẋ = 1 1
3 0
1
F: Leite die Formel für die Variation der Konstanten her.
G: Löse
ẋ = 2x + y + 2 exp(t)
ẏ = x + 2y − 3 exp(4t).
IV Lineare Differentialgleichungen mit skalaren Koeffizienten: Sei
x(n) + an−1 x(n−1) + ... + a1 ẋ + a0 x = 0
eine skalare lineare Differentialgleichung und
p(λ) = λn + ... + a1 λ + a0 = (λ − λ1 )k1 (λ − λ2 )k2 ...(λ − λr )kr
das dazugehörige charakteristische Polynom.
A: Zeige: xij = tj exp(λi t) (1 ≤ i ≤ r; 0 ≤ j < ki ) bilden ein Fundamentalsystem der obigen
Differentialgleichung.
B: Löse die folgenden Differentialgleichungen:
ẍ − 2ẋ − 3x = 2 exp(t)
ẍ − x = 2 exp(t) − t2
1
V Differenzierbare Abhängigkeit:
Bestimme
∂x
∂s |s=0
von
ẋ = x + s(t + x2 ); x(0) = 1.
2

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