Blatt 7

Wahrscheinlichkeitstheorie II
Prof. Michael Röckner
SS 2016
Nora Müller
Blatt 7
Aufgabe 1
Abgabe: Freitag 03.6.2016, 12 Uhr
(4 Punkte)
(Fortsetzung von Aufg. 2, Blatt 6).
Sei (Xn )n∈N0 der 'random walk' mit p = und Startpunkt 0, d.h.
1
2
Xn :=
n
X
1
Yk mit Yk i.i.d. und P (Yk = 1) = P (Yk = −1) = .
2
k=1
Für a ∈ N sei
T := min{n ≥ 0 : |Xn | = a}.
Zeigen Sie, dass die Laplace-Transformierte E[exp(−λT )], λ ≥ 0 von T gegeben ist durch
E[exp(−λT )] =
1
.
cosh(a · arcosh(eλ ))
Hinweis: Nutzen Sie Lemma 8.3.6 (i) und (ii). Bestimmen Sie E[M0 ] und E[MT ] für Mn :=
exp(αXn −λn) aus Aufgabe 2 vom Blatt 6. Sie dürfen verwenden, dass gesuchtes α = arcosh(eλ )
ist.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Beim Roulette setzen wir immer wieder auf ROT (entweder man verliert seinen Einsatz oder
bekommt ihn verdoppelt zurück; die Gewinnchance ist 18
). Wir fangen mit 1 Euro an und
37
verdoppeln bei jedem Misserfolg unseren Einsatz. Wenn wir gewinnen, hören wir auf. Zeigen
Sie, dass der Stoppsatz nicht für unbeschränkte Stoppzeiten gilt, indem Sie ein Supermartingal
(Mn )n∈N0 und eine Stoppzeit T angeben, so dass
E[MT ] > E[M0 ]
Aufgabe 3.
Seien X1 und Y1 unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilung
1
(δ
2 −1
(4 Punkte)
+ δ+1 ). Wir denieren
(
+1, falls X1 + Y1 = 0
Z := −X1 Y1 =
.
−1, falls X1 + Y1 6= 0
Sei nun X2 := X1 + Z und Y2 := Y1 + Z . Zeigen Sie, dass (Xi )i=1,2 ein (Ai )i=1,2 -Martingal
ist, wobei A1 = σ(X1 ), A2 = σ(X1 , X2 ), und auch (Yi )i=1,2 ein (Ai )i=1,2 -Martingal ist mit
A1 = σ(Y1 ), A2 = σ(Y1 , Y2 ). Ist (Xi + Yi )i=1,2 ein σ(Xi + Yi )i=1,2 -Martingal? Beweisen Sie ihre
Antwort.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Sei (Zn )n∈N0 := (Xn , Yn )n∈N0 der zweidimensionale symmetrische 'random walk', d.h. die MarkoKette mit Zustandsraum S = Z2 und Übergangskern
p((x, y), ·) :=
1
δ(x+1,y) + δ(x−1,y) + δ(x,y+1) + δ(x,y−1)
4
mit (x, y) ∈ Z2 . Zeigen Sie, dass Mn := |Zn |2 − n für n ∈ N0 ein Martingal ist. | · | bezeichnet
hierbei die Euklidische Norm.

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