Fakultät für Mathematik Prof. Dr. Sebastian Herr Sommersemester 2016 Universität Bielefeld 8. Aufgabenblatt — Analysis I Aufgabe 8.1 (6 Punkte). Untersuchen Sie die angegebenen Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz (mit Beweis!): a) ∞ X k4 k=1 c) ∞ X b) 4k e) ∞ X k! · k k k=1 1 (−1)k ) (−1)k ( + 2 k k k=1 ∞ X (−1)k √ d) k 2 k k=1 ∞ X 1 √ f) 5 k k=1 k2 + 1 2k 4 + 4k + 1 k=1 ∞ X (2k)! Aufgabe 8.2 (4 Punkte). Untersuchen Sie für jede Zahl r ∈ R die angegebenen Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz (mit Beweis!): ∞ ∞ √ k X X |r|k k k a) b) r 2k 1+r k k=1 k=1 Aufgabe 8.3 (4 Punkte). Beweisen Sie mit Hilfe von Satz 6.24 und Satz 6.25 folgende Aussagen: a) |e − 2, 718| < 10−3 . b) Für n ∈ Z gilt exp(n) = en . c) Es gilt limn→∞ 5n · 2−n · exp(−n) = 0. d) Ist (an ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a ∈ R, so gilt limn→∞ exp(an ) = exp(a). Aufgabe 8.4 (4 Punkte). a) Seien ak = bk = dm = (−1)k √ k+1 m X und aj bm−j . j=0 Zeigen Sie, dass (dm ) keine Nullfolge ist. Hinweis: Die Ungleichung ab ≤ 14 (a + b)2 für a, b ≥ 0 ist hier nützlich, vgl. Beweis von Satz 4.5. b) Genügt es in Satz 6.20 beide Reihen nur als konvergent (nicht aber absolut konvergent) vorauszusetzen? Abgabe: Fr., 03.06.2016 bis 12:00 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin / Ihres Tutors Weitere Informationen finden Sie im Lernraum zur Vorlesung.