Physikalische Chemie II 1 Übung 2 - Lösung 25. September 2015 Thermischer Zerfall von Ethan Für die Reaktionsgeschwindigkeit dc/dt einer Reaktion erster Ordnung gilt: dc = −kc dt (1) Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen und bestimmte Integration gelöst werden. Für eine unimolekulare Reaktion gilt dann für den Konzentrationsverlauf c(t) als Funktion der Zeit t c(t) = c0 · exp[−k(t − t0 )] (2) wobei c0 die Anfangskonzentration zum Zeitpunkt t0 ist. Mit einer Geschwindigkeitskonstante von k = 5.46 · 10−4 s−1 gilt für die Konzentrationen nach 10 min, 30 min und 60 min: c(10 min) = c0 · exp(−5.46 · 10−4 s−1 · 600 s) ≈ 0.72 c0 c(30 min) = c0 · exp(−5.46 · 10−4 s−1 · 1800 s) ≈ 0.37 c0 c(60 min) = c0 · exp(−5.46 · 10−4 s−1 · 3600 s) ≈ 0.14 c0 (3) (4) (5) Folglich sind nach 10 min noch 72%, nach 30 min noch 37% und nach 60 min noch 14% der Ausgangsmenge vorhanden. Desweiteren ist die Halbwertszeit: t1/2 = ln(2)/k = 1269.5 s ≈ 21 min 2 (6) Berechnung von Mittelwerten 2.1 Der Normierungsfaktor X ist: Z∞ X exp (−kt) dt = 1 (7) 0 1 = X Z∞ exp (−kt) dt (8) 0 =⇒ ∞ 1 1 = − exp(−kt) = k k 0 X=k 1 (9) (10) Physikalische Chemie II Übung 2 - Lösung 25. September 2015 2.2 Damit ist τ gegeben durch: Z∞ τ = hti = t exp (−kt) k dt (11) 0 ∞ Z∞ kt k = − exp(−kt) + exp(−kt) dt k k 0 (12) 0 1 =0+ k 1 τ = hti = k (13) (14) 2.3 Vom Law of averages spricht man, wenn die Einzelwerte um den Mittelwert verteilt sind. Zum Beispiel: Durchschnittliche Lebensdauer τ , durchschnittliche Dichte der Erde, Molekülmasse, etc. Oder aus dem täglichen Leben: Lebenserwartung, durchschnittliches Einkommen. Hier muss man jedoch eine homogene Bevölkerung voraussetzen, sonst gilt der Flaw of averages. Er tritt auf, wenn man über Gruppen mittelt, die grundsätzlich verschiedene Eigenschaften haben oder auch bei einer Mittelung über verschiedene Richtungen. Das ist dann oft nicht sinnvoll. So könnte ein Land mit einigen sehr Reichen und vielen sehr Armen immer noch ein Durchschnittseinkommen wie z.B. in der Schweiz haben. Auch ist der “durchschnittliche Mensch” ein “Raucher”, mit vielleicht 7 Zigaretten pro Woche, obwohl die meisten Nichtraucher sind, andere aber dafür sehr starke Raucher. Die durchschnittliche Geschwindigkeit von Gasmolekülen ist vektoriell betrachtet Null. Ebenso ist die Durchschnittsgeschwindigkeit aller Fahrzeuge auf einer Autobahn Null, wenn man beide Spuren zusammen betrachtet und sie gleichmässig befahren werden. 3 Weltenergieumsatz 3.1 Mit E = 155.5 PWh = 1.555 · 1017 Wh und ∆t = 365 · 24 h = 8760 h ergibt das eine Leistung pro Mensch von: P = 1.555 · 1017 Wh ≈ 2.5 kW 7 · 109 Menschen 8760 h (15) 3.2 Mit E = 155.5 PWh = 5.598 · 1017 kJ und einem Molekülmasse von M = 44 g/mol ergibt das insgesamt einen Ausstoss an CO2 pro Jahr von: mCO2 = 5.598 · 1017 kJ 44 g/mol ≈ 3.08 · 1013 kg 800 kJ/mol 2 (16) Physikalische Chemie II Übung 2 - Lösung 25. September 2015 Das ergibt einen Ausstoss pro Kopf von ca. 4.4 · 103 kg pro Jahr. 2011 wurden ca. 3.46 · 1013 kg Kohlenstoffdioxid ausgestossen1 , somit ist der oben abgeschätze Ausstoss recht akurat, obwohl nicht der gesamte Energieverbrauch der Menschheit aus Energiequellen auf Kohlenstoffbasis gedeckt wird. 3.3 Mit ∆n = 5.598·1017 kJ/800 kJ/mol = 7.0·1014 mol und ∆t = 8760·3600 s ≈ 31.5 · 106 s ist die Umsatzgeschwindigkeit: vξ = 1 dnCO2 ∆n dξ = = ≈ 2.2 · 107 mol/s dt νCO2 dt ∆t (17) 3.4 Der Massendefekt ist ∆m = E/c2 ≈ 6220 kg. 1 http://data.worldbank.org/indicator/EN.ATM.CO2E.KT/countries/1W?display=graph 3
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