ÜBUNGSZETTEL 3 - LINEARE ALGEBRA II
JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
Aufgabe 1 (3 Punkte). Es seien (Vi )ki=1 Unterräume des K-Vektorraumes
V . Man zeige die Äquivalenz der folgenden Bedingungen:
i) Für jedes v ∈ V1 + · · · + Vk ist dessen Darstellung als v =
v1 + · · · + vk mit vi ∈ Vi eindeutig.
ii) Für jedes i mit 1 ≤ i ≤ k gilt
X
Vi ∩
Vj = {0}
1≤j≤k
j6=i
Definition. Für nilpotente Endomorphismen N eines Q-Vektorraumes
P
k
V sei exp(N ) = k=1 Nk! .
Man beachte, dass diese Summe nach Voraussetzung in Wahrheit
eine endliche ist.
Aufgabe 2 (5 Punkte). Es seien A und B nilpotente Endomorphismen
eines K-Vektorraums V mit AB = BA. Zeigen Sie:
i) AB ist nilpotent.
ii) A + B ist ebenfalls nilpotent.
iii) Es gilt exp(A + B) = exp(A) exp(B).
Wird die Voraussetzung AB = BA in allen drei Teilen benötigt? Geben
Sie hierfür entweder Beweise oder Gegenbeispiele!
Da wir im Folgenden immer wieder reelle als komplexe Matrizen auffassen werden, untersucht die nächste Aufgabe den Prozess der Komplexifizierung einmal systematisch:
Aufgabe 3 (12 Punkte). Gegeben sei ein R-Vektorraum V . Wir definieren
seine Komplexifizierung VC wie folgt:
VC = V × V
mit der komponentenweisen Addition und folgender Skalarmultiplikation C × VC → VC
(a + bi) · (v, w) = (av − bw, bv + aw)
Zeigen Sie:
Abgabetermin: 06.05. in der Vorlesung
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JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
i) VC ist in der Tat ein komplexer Vektorraum,
v 7−→ (v, 0)
ist eine reell-lineare Einbettung ι : V → VC gegeben und
(v, w) 7−→ (v, −w)
ist ein reell aber nicht komplex-linearer Automorphismus von
VC .
ii) Für jeden komplexen Vektorraum X ist die Einschränkungsabbildung
HomC (VC , X) → HomR (V, X)
bijektiv.
iii) Ist B eine reelle Basis von V so ist ι(B) eine komplexe Basis
von VC .
iv) Ist f : V → V 0 linear, so gibt es genau eine komplex lineare
Abbildung fC : VC → VC0 , die das Diagram
V
VC
f
fC
/
/
V0
VC0
kommutieren lässt.
v) Die Matrix von f bzgl. B ist identisch mit der von fC bzgl.
ι(B).
vi) Für eine Matrix A ∈ M atdimR V (C) ist die bzgl. ι(B) zu A
gehörende Abbildung VC → VC gegeben durch
◦f ◦ ,
wobei f die zu A gehörige Abbildung ist.
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