Serie 8/9 - Universität Münster

Westfälische Wilhelms-Universität Münster, Numerische und Angewandte Mathematik
26. Juni 2016
Übungsaufgaben Dynamische Systeme
Vorlesung von Prof. Dr. Michael Herrmann im Sommersemester 2016
Serie 8/9: Lineare Differentialgleichungen und Stabilität (4 Aufgaben, 20 Punkte)
Abgabe am 04. Juli 2016
Aufgabe 1 [6 Pkt.]
(Zur Mehrdeutigkeit von Fundamentalmatrizen)
Seien Φ, Φ̃ : R → Mat(d × d) zwei Fundamentalmatrizen des homogenen Systems ẋ = A(t)x.
Beweisen Sie, dass es eine invertierbare Matrix B ∈ Mat(d × d) gibt, so dass
Φ(t) = Φ̃(t)B
für alle Zeiten t ∈ R gilt. Untersuchen Sie außerdem, ob es eine Matrix C ∈ Mat(d × d) gibt,
so dass
Φ(t) = C Φ̃(t)
für alle Zeiten t ∈ R gilt.
Bemerkung: Außer der Invertierbarkeit gibt es keine Einschränkung an B, d.h. ist B eine
beliebige d×d-Matrix mit det B 6= 0 und Φ irgendeine Fundamentalmatrix, so
ist Φ̃ mit Φ̃(t) := Φ(t)B −1 auch Fundamentalmatrix.
Aufgabe 2 [2 Pkt.]
(Variation der Konstanten in 1D)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der skalaren inhomogenen Differentialgleichung
ẋ = −x + sin (ωt)
durch Variation der Konstanten, wobei ω ∈ R eine beliebige Konstante ist.
Aufgabe* [8 Pkt.]
(Matrixexponential und Kommutator)
Seien A, B ∈ Mat(d×d) gegeben mit
[A, B] := AB − BA = 0.
Zeigen Sie, dass dann exp (A + B) = exp (A) exp (B) gilt. Geben Sie außerdem ein Beispiel
für A und B an, so dass diese Identität verletzt ist.
Aufgabe 3 [6 Pkt.]
(Matrixexponential und Jordanform)
Sei A eine zwei-, drei- oder vierdimensionale Jordanmatrix zum Eigenwert λ ∈ R. Berechnen
Sie jeweils exp (tA) für alle t ∈ R. Diskutieren Sie außerdem, für welche Werte von λ die
Norm von exp (tA) für t → +∞ beschränkt bleibt.
Bemerkung: Der zweite Teil bezieht sich auf die Stabilität der trivialen Lösung (% VL).
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Aufgabe 4 [6 Pkt.]
(Ein Stabilitätskriterium für den autonomen Fall)
Sei A ∈ Mat(d×d) eine reellwertige Matrix mit
−µ := max Re λ : λ ∈ specC A < 0.
Zeigen Sie, dass es für jedes η mit 0 < η < µ eine Konstante C > 0 gibt, so dass
|exp (tA)| ≤ C exp (−tη)
für alle t ≥ 0 gilt, und schließen Sie daraus, dass die triviale Lösung von ẋ = Ax asymptotisch
stabil ist.
Bemerkung: Dieses Kriterium ist gerade die erste Behauptung in Satz 21.
Aufgabe* [8 Pkt.]
(Ein Stabilitätskriterium für den nicht-autonomen Fall )
Sei A ∈ Mat(d×d) eine reellwertige Matrix mit λ 6= 0, Reλ ≤ 0 für alle λ ∈ specC A, und sei
B : R → Mat(d×d) eine stetige Abbildung mit
Z ∞
|B(t)| dt < ∞.
0
Beweisen Sie, dass die triviale Lösung von ẋ = Ax + B(t)x stabil ist.
Hinweis:
Zeigen Sie zunächst, dass |exp (tA)| ≤ C für ein C > 0 und alle t ≥ 0 gilt.
(Das ist gerade die Behauptung im zweiten Teil von Satz 21.)
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