Ludwig-Maximilians-Universität München Institut für Statistik David Meintrup Wintersemester 08/09 Stochastische Prozesse Blatt 10 Aufgabe 37. In der Situation des Repairmen-Problems seien n = 4 Maschinen und k = 2 Handwerker gegeben. Bestimmen Sie für λ/µ = 0.2 (i) die stationäre Verteilung, (ii) die durchschnittliche Anzahl ausgefallener Maschinen, (iii) den Auslastungsgrad der Mechaniker, (iv) die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reparatur nicht unmittelbar begonnen werden kann. Aufgabe 38. In einem Revier leben bis zu n Vögel. In Abhängigkeit von der Zahl k der Nester ist die Geburtsrate kλ, bis zur Obergrenze von n. m Jäger sorgen für eine Todesrate von mµ. (i) Welche Eigenschaft charakterisiert einen Geburts- Todesprozess? Geben Sie die Generatormatrix an. (ii) Sind die folgenden Behauptungen richtig oder falsch: (a) Ist die Anzahl der Nester doppelt so groÿ wie die Anzahl der Jäger, so existiert keine stationäre Verteilung. (b) Es existiert eine stationäre Verteilung und diese ist eindeutig. (c) Die stationäre Verteilung hängt im Falle ihrer Existenz nur von λ/µ, und nicht von λ und µ selbst ab. (iii) Berechnen Sie die stationäre Verteilung für ein Nest und einen Jäger, sowie für zwei Nester und zwei Jäger. Bitte wenden! Aufgabe 39. Betrachten Sie ein System aus 5 Komponenten mit unabhängigen, λ-exponentialverteilten Lebensdauern. Das System ist intakt, wenn mindestens 3 der 5 Komponenten intakt sind. Fällt eine Komponente aus, so wird unmittelbar mit der Reparatur begonnen. Die Dauer einer Reparatur ist von den Lebensdauern der Komponenten unabhängig und µ-exponentialverteilt. Während der Ausfallzeit des Systems kann keine weitere Komponente ausfallen. Sei (Xt ) die Anzahl ausgefallener Komponenten zum Zeitpunkt t. Die Übergangsraten ergeben sich zu: bi,i+1 = (5 − i)λ, 0 ≤ i ≤ 2, bi,i−1 = µ, 1 ≤ i ≤ 3, bij = 0, |i − j| > 1. (i) Erklären Sie die Übergangsraten. (ii) Skizzieren Sie den Übergangsgraphen. (iii) Bestimmen Sie für λ = 1 und µ = 5 die stationäre Verteilung. (iv) Bestimmen Sie die langfristig zu erwartenden Kosten pro Zeiteinheit, wenn folgendes gilt: 50 Euro pro Mechaniker, 25 Euro pro ausgefallene Maschine und zusätzlich 100 Euro bei Systemausfall. Aufgabe 40. Sei A eine reelle n × n - Matrix und exp(A) := ∞ X An n=0 n! die Matrix-Exponentialfunktion. Zeigen Sie: (i) Falls AB = BA für zwei Matrizen A und B , folgt: exp(A+B) = exp(A) exp(B). (ii) Die Funktion t 7→ exp(tA), t ∈ R, ist dierenzierbar mit erster Ableitung d exp(tA) = A exp(tA). dt