30.03.15 4. Torsion ● ● ● ● ● Die Belastung eines Balkens durch ein Moment um die xAchse wird als Torsion bezeichnet. Das Torsionsmoment Mx resultiert aus einer über den Querschnitt verteilten Schubspannung. Für Kreis- und Kreisringquerschnitte kann die Verteilung der Schubspannung einfach ermittelt werden. Im Folgenden werden kreiszylindrische Wellen mit konstantem oder nur schwach veränderlichem Radius betrachtet. Sie werden z.B. bei Antriebswellen verwendet, die zur Übertragung von Drehmomenten eingesetzt werden. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-1 4. Torsion ● 30.03.15 Beispiel: Antriebsstrang Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-2 4. Torsion 30.03.15 4.1 Spannungsermittlung 4.2 Beispiele 4.3 Zulässige Spannung Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-3 30.03.15 4.1 Spannungsermittlung ● Kinematik: – Die Querschnitte drehen sich um die x-Achse, ohne dabei ihre Form zu ändern. – Es tritt keine Verschiebung in x-Richtung auf. A A' Prof. Dr. Wandinger B Mx B' 1. Grundbelastungsarten x TM 2 1.4-4 30.03.15 4.1 Spannungsermittlung ● Scherung: – – – Der Querschnitt an der Stelle x verdreht sich um den Winkel θ. Der Querschnitt an der Stelle x + dx verdreht sich um den Winkel θ + dθ. dx P P' θ Aus der Zeichnung kann abgelesen werden: γ dx=r d θ Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten Q r γ dθ Q' x TM 2 1.4-5 30.03.15 4.1 Spannungsermittlung – Daraus folgt für die Scherung: d =r dx – ● Schubspannung: – Mit dem Materialgesetz folgt für die Schubspannung: Die Ableitung dθ/dx wird als Verdrillung bezeichnet. dθ τ=G γ=G r dx τ Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten τ TM 2 1.4-6 30.03.15 4.1 Spannungsermittlung – Das resultierende Moment der Schubspannung ist gleich dem Torsionsmoment: dθ M x =∫ r τ dA=G r 2 dA ∫ dx A A – r Mit dem Torsionsträgheitsmoment I T =∫ r dA 2 τ R y dA A gilt: – dθ M x =G I T dx z Die Größe GI T wird als Torsionssteifigkeit bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-7 4.1 Spannungsermittlung – Mit dθ Mx = dx G I T folgt für die Schubspannung: – 30.03.15 Mx τ= r IT Die maximale Schubspannung tritt für r = R auf: Mx Mx IT τ max = R= mit W T = IT WT R – Dabei ist WT das Torsionswiderstandsmoment. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-8 4.1 Spannungsermittlung ● 30.03.15 Verdrehung: – Der Winkel, um den sich zwei Querschnitte an den Stellen xA und xB gegeneinander verdrehen, berechnet sich zu xB xB A A Mx dθ Δ θ=θ B −θ A =∫ dx=∫ dx x dx x G IT – Bei konstantem Torsionsmoment und konstanter Torsionssteifigkeit gilt: M x L AB θ B −θ A = mit L AB = x B − x A G IT Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-9 30.03.15 4.1 Spannungsermittlung ● Torsionsträgheitsmoment: – R Kreisquerschnitt: dA=2 π r dr r R 1 I T =∫ r dA=2 π ∫ r dr = π R 4 2 A 0 2 3 dA 1 W T = π R3 2 – Ra Kreisringquerschnitt: 1 1 π 4 4 4 4 I T = π ( R a −R i ) , W T = R − R ( i) 2 2 Ra a Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten Ri TM 2 1.4-10 4.1 Spannungsermittlung – 30.03.15 Beim Kreis und beim Kreisring stimmt das Torsionsträgheitsmoment mit dem polaren Flächenträgheitsmoment überein. Das polare Flächenträgheitsmoment ist ein geometrischer Kennwert des Querschnitts. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-11 4.1 Spannungsermittlung ● 30.03.15 Allgemeine Querschnitte: – Bei einem allgemeinen Querschnitt stimmt das Torsionsträgheitsmoment nicht mit dem polaren Flächenträgheitsmoment überein. – Zusätzlich tritt eine Verschiebung in x-Richtung auf, die als Verwölbung bezeichnet wird. – Die Formeln für die Schubspannung und die Verdrillung gelten weiterhin. – Torsionsträgheitsmoment und Torsionswiderstandsmoment sind jedoch komplizierter zu berechnen. Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-12 30.03.15 4.2 Beispiele ● Konische Welle – – Die abgebildete konische Antriebswelle mit Kreisquerschnitt wird durch das Antriebsmoment Mx belastet. 2r0 Mx A Abmessungen L und r0 – Schubmodul G ● Antriebsmoment Mx C x 3L D Mx L Gesucht: ● ● Prof. Dr. Wandinger B L Gegeben: ● r0 ● 1. Grundbelastungsarten Maximale Schubspannung Verdrehungen relativ zu Querschnitt A TM 2 1.4-13 4.2 Beispiele 30.03.15 – Das Torsionsmoment ist in jedem Querschnitt gleich und hat den Wert Mx . – Größte Schubspannung: ● Die größte Schubspannung tritt im Abschnitt CD auf. ● Mit dem Torsionswiderstandsmoment 1 3 W = π r0 2 CD T gilt: Prof. Dr. Wandinger τ max = Mx W CD T = 2 Mx 3 π r0 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-14 30.03.15 4.2 Beispiele – Verdrehungen: ● Torsionsträgheitsmomente: 1 1 4 2 4 CD I = π ( 2 r 0 ) =8 π r 0 , I T = π r 0 2 2 AB T 4 4 r0 π r0 1 x BC I T ( x)= π 2 r 0 − 7− ( x−L ) = 2 3L 162 L ( ● ) 4 ( ) Querschnitt B: θB = Prof. Dr. Wandinger MxL GI AB T = Mx L 4 8π r0 G 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-15 30.03.15 4.2 Beispiele ● Querschnitt C: xC 4L Mx dθ θC =θ B +∫ dx=θB + ∫ dx BC (x) x dx L GI B 162 M x 4L [ 162 M x L dx 1 =θ B + dx=θ + ∫ B 4 4 4 3 π r 0 G L ( 7−x / L ) π r 0 G 3 ( 7−x / L ) MxL 3 ] x=4 L x=L 2⋅3 M x L 1 M x L 1 14 15 M x L 1 = + − = 4 + = 4 4 3 3 8 π r 40 G 8 π r0G π r 0 G 3 (2⋅3) π r0G 8 8 ● ( ) ( ) Querschnitt D: Mx L M x L 15 31 M x L θD =θC + = 4 +2 = CD 8 8 π r 40 G G IT πr0G Prof. Dr. Wandinger ( ) 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-16 30.03.15 4.2 Beispiele ● Radsatz – – Die beiden Räder A und C sind durch Hohlwellen mit der starren Antriebsscheibe B verbunden. B MB A C D L1 L2 Gegeben: ● Abmessungen L1< L2 und D ● ● – Gesucht: ● Antriebsmoment MB Zulässige Spannung τzul Prof. Dr. Wandinger ● Verhältnis IT1/IT2 so, dass beide Räder das gleiche Moment übertragen Innendurchmesser d1 und d2 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-17 30.03.15 4.2 Beispiele – Momentengleichgewicht: ∑ M x =0 : −2 M A + M B =0 1 → M A= M B 2 – B MB A C x MA L1 MA L2 Torsionsmoment: ● Abschnitt AB (Gleichgewicht für linke Teilachse): M x 1=M A ● Abschnitt BC (Gleichgewicht für rechte Teilachse): M x 2 =−M A Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-18 30.03.15 4.2 Beispiele – Verträglichkeitsbedingung: ● Es tritt keine Verdrehung von Rad C relativ zu Rad A auf: M x 1 L1 M x 2 L2 M A L1 L2 0= + = − G IT 1 G IT 2 G IT 1 IT 2 ( – ) I T 1 L1 → = IT 2 L2 Innendurchmesser: ● Die größere Schubspannung tritt im Abschnitt AB auf: M A M B D 16 8 MB D τ zul ≥ = =π 4 π 4 4 4 WT1 2 D −d 1 D −d 1 √ 4 8 8 MB D 4 τ zul ( D −d )≥ π M B D → d 1≤ D − π τ zul 4 Prof. Dr. Wandinger 4 1 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-19 30.03.15 4.2 Beispiele ● Aus L 1 I T 1 D 4 −d 41 = = 4 L 2 I T 2 D −d 42 und daraus: folgt L1 4 4 D −d 2 ) =D 4 −d 14 ( L2 L2 4 L2 4 L2 4 4 d =D − ( D −d 1 )= d 1 + 1− D L1 L1 L1 4 2 ( ) 4 √ L2 4 L2 4 → d 2= d 1 + 1− D L1 L1 4 Prof. Dr. Wandinger ( ) 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-20 4.3 Zulässige Spannung ● 30.03.15 Duktile Werkstoffe: – Bei duktilen Werkstoffen kann Fließen oder Bruch auftreten. – Mit dem Torsionsmoment MxF bei Fließbeginn und dem Torsionsmoment MxB bei Bruch wird eine Torsionsfließgrenze und eine Torsionsfestigkeit definiert: ● ● Torsionsfließgrenze: M xF 1 τ tF = = Re WT 2 Torsionsfestigkeit: M xB τ tB = WT Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-21 30.03.15 4.3 Zulässige Spannung ● ● Spröde Werkstoffe: – Bei spröden Werkstoffen kann nur Versagen durch Bruch auftreten. – Die Torsionsfestigkeit τtB entspricht der Zugfestigkeit Rm . Sicherheit und zulässige Spannung: – Gegen Fließen: τtF τtF S F = τ , τ zul = S F – Gegen Bruch: τtB τtB S B = τ , τ zul = S B Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-22 4.3 Zulässige Spannung – 30.03.15 Anhaltswerte für die Sicherheit bei Torsionsbeanspruchung: Werkstoffart Versagensart Sicherheit duktil Fließen 1,2 - 2,0 Bruch 2,0 - 4,0 Bruch 4,0 - 9,0 spröde Prof. Dr. Wandinger 1. Grundbelastungsarten TM 2 1.4-23