1. Einfache ebene Tragwerke - Prof. Dr.

1. Einfache ebene Tragwerke
●
05.11.15
Die Ermittlung der Lagerreaktionen einfacher Tragwerke
erfolgt in drei Schritten:
–
Freischneiden
–
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen
–
Auflösen der Gleichungen
Prof. Dr. Wandinger
3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-1
05.11.15
1. Einfache ebene Tragwerke
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Beispiel:
–
–
B
Loslager
a
Gegeben:
●
Gewicht G = 5000 N
●
Höhe h = 3 m
●
Abstand a = 2,5 m
h
Gesucht:
●
G
Kräfte in den Lagern A
und B
A
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3. Tragwerksanalyse
Festlager
TM 1 3.1-2
05.11.15
1. Einfache ebene Tragwerke
–
Freischneiden:
●
●
●
●
Bx
B
a
Die Lager werden entfernt.
Die Kräfte, die die Lager
auf das Bauteil ausüben,
werden eingezeichnet.
h
Die Pfeilrichtung legt die
positive Richtung fest.
Ergibt die Rechnung
einen negativen Zahlenwert, so wirkt die
Kraft entgegen der Pfeilrichtung.
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G
y
A
Ax
3. Tragwerksanalyse
x
Ay
TM 1 3.1-3
1. Einfache ebene Tragwerke
–
05.11.15
Gleichgewichtsbedingungen:
●
Zur Bestimmung der 3 unbekannten Kräfte Ax , Ay und Bx stehen die 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung:
∑ F x=0
∑ F y=0
:
A x −B x =0
→ Ax =B x
:
A y−G=0
→ Ay=G
A
∑ M =0 :
●
a
h B x −a G=0 → B x = G
h
Zahlenwerte:
Ax =B x =
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2,5
⋅5000 N=4167 N , A y=5000 N
3
3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-4
05.11.15
1. Einfache ebene Tragwerke
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Beispiel: Kragbalken
–
L
α
A
–
F
MA
Gegeben:
●
–
Ax
–
L, F, α
Gesucht:
●
Lasten an der Einspannung A
Freischnitt:
Ay
A
L
α
y
F
x
Gleichgewichtsbedingungen:
∑ F x =0
∑ F y=0
: F cos (α)− Ax =0
: A y −F sin (α)=0
A
M
∑ =0 : M A−L F sin (α)=0
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3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-5
1. Einfache ebene Tragwerke:
–
Auflösen:
∑ F x =0
∑ F y=0
05.11.15
→ A x =F cos (α)
→ Ay =F sin (α)=0
A
M
∑ =0 → M A= L F sin (α)
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3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-6
1. Einfache ebene Tragwerke
●
05.11.15
Wichtige Anmerkungen:
–
Das Bauteil, für das die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden, muss komplett freigeschnitten sein. Es muss
möglich sein, das freigeschnittene Bauteil in Gedanken beliebig zu verschieben.
–
Die Gleichgewichtsbedingungen beziehen sich auf einen
Freischnitt. Gleichgewichtsbedingungen ohne zugehörigen
Freischnitt sind sinnlos!
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3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-7
1. Einfache ebene Tragwerke
●
05.11.15
Eingeprägte Kräfte und Reaktionskräfte:
–
Eingeprägte Kräfte sind vorgegebene Kräfte wie z.B. Gewichtskraft, Winddruck oder Schneelast.
–
Reaktionskräfte sind Zwangskräfte, die dadurch entstehen,
dass die Bewegungsfreiheit des Körpers durch die Lager
und Gelenke eingeschränkt wird.
–
Beim Freischneiden werden die Lager durch die dort auftretenden Reaktionskräfte ersetzt.
–
Die Reaktionskräfte werden durch die eingeprägten Kräfte
verursacht. Werden die eingeprägten Kräfte entfernt, dann
verschwinden auch die Reaktionskräfte.
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3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-8
05.11.15
1. Einfache ebene Tragwerke
●
Lager:
–
Lager verhindern Bewegungen.
–
Für jede verhinderte Verschiebung ist im Freischnitt eine
unbekannte Kraft einzuzeichnen.
–
Für jede verhinderte Verdrehung ist im Freischnitt ein unbekanntes Moment einzuzeichnen.
–
Der Richtungssinn kann frei gewählt werden.
–
Der gewählte Richtungssinn definiert den Richtungssinn einer positiven Kraft bzw. eines positiven Moments.
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3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-9
1. Einfache ebene Tragwerke
–
05.11.15
Die Wertigkeit eines Lagers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten das Lager verhindert:
●
●
●
Ein 1-wertiges Lager verhindert eine Bewegungsmöglichkeit.
Es tritt eine Reaktionslast auf.
Ein 2-wertiges Lager verhindert zwei Bewegungsmöglichkeiten. Es treten zwei Reaktionslasten auf.
Ein 3-wertiges Lager verhindert drei Bewegungsmöglichkeiten. Es treten drei Reaktionslasten auf.
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3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-10
1. Einfache ebene Tragwerke
05.11.15
Feste Einspannung:
Festlager:
Loslager:
Glatte Wand:
Seil:
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3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-11
05.11.15
1. Einfache ebene Tragwerke
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Statisch bestimmte Lagerung:
–
Eine Lagerung heißt statisch bestimmt, wenn sich die
Lagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen lassen.
–
Wenn die Gleichgewichtsbedingungen nicht zur Bestimmung der Lagerreaktionen ausreichen, heißt die Lagerung
statisch unbestimmt.
–
Bei ebenen Tragwerken gilt:
●
●
Treten 3 Lagerreaktionen auf, so ist das Tragwerk statisch
bestimmt gelagert.
Treten mehr als 3 Lagerreaktionen auf, so ist das Tragwerk
statisch unbestimmt gelagert.
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3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-12
05.11.15
1. Einfache ebene Tragwerke
●
Beispiel:
–
statisch bestimmt:
–
statisch unbestimmt:


3 Lagerreaktionen
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4 Lagerreaktionen
3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-13
1. Einfache ebene Tragwerke
●
Unzureichende Lagerung:
–
Die angegebenen Regeln
gelten nur, wenn das
Tragwerk so gelagert ist,
dass keine Bewegungen
mehr auftreten können.
y
F
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x
05.11.15
–
Das abgebildete Tragwerk kann sich in x-Richtung bewegen.
–
Ein Kräftegleichgewicht in
x-Richtung ist nicht möglich.
–
Die drei unbekannten
Lagerkräfte können aus
den beiden verbleibenden
Gleichgewichtsbedingungen nicht ermittelt werden.
3. Tragwerksanalyse
TM 1 3.1-14

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