a,y - Prof. Dr. Johannes Wandinger

30.04.15
1. Bewegungsgleichung
●
●
Die Bewegungsgleichung
der ebenen Platte kann
aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit hergeleitet
werden.
●
Prinzip der virtuellen Arbeit:
n
Dabei werden die getroffenen Annahmen und Vereinfachungen klar ersichtlich.
t
V
fg
A
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-1
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Betrachtet wird eine linear-elastische Struktur mit Volumen
V und Oberfläche A.
–
Im Inneren der Struktur greifen die Volumenkräfte fg und an
der Oberfläche die Flächenkräfte t an.
–
Seien ũ beliebige virtuelle Verschiebungen, die die Verschiebungsrandbedingungen erfüllen, und ϵ̃ ist der zugehörige Verzerrungstensor.
–
Dann erfüllt der Spannungstensor σ das Prinzip der virtuellen Arbeit:
∫ ϵ̃ : σ dV =∫ ũ⋅f g dV +∫ ũ⋅t dA
V
Prof. Dr. Wandinger
V
für alle ũ
A
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-2
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Dabei wurde die Abkürzung
ϵ̃ : σ =ϵ̃ x σ x + ϵ̃ y σ y + ϵ̃ z σ z + γ̃ xy τ xy + γ̃ yz τ yz + γ̃ xz τ xz
eingeführt.
–
–
Die Volumenkräfte setzen sich zusammen aus den gegebenen Volumenkräften f und den Trägheitskräften
f T =−ρ u¨
Damit lautet das Prinzip der virtuellen Arbeit der Strukturdynamik:
∫ ϵ̃ :σ dV +∫ ρ ũ⋅u¨ dV =∫ ũ⋅f dV +∫ ũ⋅t dA
V
Prof. Dr. Wandinger
V
V
3. Die ebene Platte
für alle ũ
A
Strukturdynamik
3.1-3
1. Bewegungsgleichung
–
30.04.15
Im Prinzip der virtuellen Arbeit sind die folgenden drei Bedingungen enthalten:
●
●
●
Für den freigeschnittenen Körper ist der Schwerpunktsatz und
der Drallsatz erfüllt.
Für jedes infinitesimale Element des Körpers ist der Schwerpunktsatz und der Drallsatz erfüllt.
Am Rand stimmt der Spannungsvektor mit den vorgegebenen
Lasten überein (natürliche Randbedingungen).
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3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-4
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
●
Annahmen der ebenen Plattentheorie:
p(x, y, t)
x
h
y
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z
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-5
1. Bewegungsgleichung
30.04.15
–
Die Mittelebene der Platte liegt in der xy-Ebene.
–
Auf der Plattenoberseite und der Plattenunterseite gilt:
σ z (x , y , h /2)=σ z ( x , y ,−h/2)=0
Für dünne Platten gilt daher mit guter Näherung:
σ z (x , y , z)=0
Die Platte wird nur durch eine Druckkraft p senkrecht zur
Mittelebene belastet.
–
–
–
Ebene Querschnitte senkrecht zur Mittelebene bleiben
eben. Sie verschieben sich in z-Richtung und drehen sich
dabei um eine Achse in der Mittelebene.
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3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-6
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Dann gilt für die Verschiebungen:
[ ][ ][ ][][
u(x , y , z)
0
ϕ( x , y)
0
ψ( x , y) z
[ u ] = v( x , y , z) = 0 + ψ( x , y) × 0 = −ϕ( x , y) z
w ( x , y)
w (x , y)
0
z
w( x , y)
–
]
Für die zugehörigen Verzerrungen folgt:
∂u ∂ψ
∂v
∂ϕ
ϵ x= =
z , ϵ y = =−
z
∂x ∂x
∂y
∂y
∂u ∂v ∂ψ ∂ϕ
γ xy = + =
−
z
∂y ∂x
∂y ∂x
(
γ yz =
)
∂v ∂w
∂w
∂u ∂w
∂w
+
=−ϕ+
, γ xz = +
=ψ+
∂z ∂y
∂y
∂z ∂x
∂x
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3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-7
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Die Normalspannungen berechnen sich aus dem Elastizitätsgesetz für den ebenen Spannungszustand:
E
E z ∂ψ
∂ϕ
σ x=
ϵ + ν ϵy )=
−ν
2( x
2
∂y
1−ν
1−ν ∂ x
E
E z ∂ϕ
∂ψ
σ y=
ϵ + ν ϵ x ) =−
−ν
2( y
2
∂x
1−ν
1−ν ∂ y
(
)
(
–
Für die Schubspannungen gilt:
Ez
∂ψ ∂ϕ
τ xy =G γ xy =
−
2(1+ ν) ∂ y ∂ x
(
)
)
E
∂w
E
∂w
τ yz=
−ϕ+
, τ xz =
ψ+
∂y
∂x
2(1+ ν)
2(1+ ν)
(
Prof. Dr. Wandinger
)
3. Die ebene Platte
(
)
Strukturdynamik
3.1-8
1. Bewegungsgleichung
●
30.04.15
Prinzip der virtuellen Arbeit für die Platte:
–
Mit den getroffenen Annahmen für die Kinematik lässt sich
das Prinzip der virtuellen Arbeit nicht mehr für alle virtuellen
Verschiebungen erfüllen.
–
Stattdessen wird gefordert, dass das Prinzip der virtuellen
Arbeit für alle virtuellen Verschiebungen erfüllt ist, die die
gleichen Annahmen erfüllen (Methode von Bubnow und Galerkin):
[ ][
̃ x , y) z
u( x , y , z)
ψ(
[ ũ ]= v( x , y , z) = −ϕ(
̃ x , y) z
w ( x , y)
w(
̃ x , y)
Prof. Dr. Wandinger
]
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-9
1. Bewegungsgleichung
–
30.04.15
Für die virtuellen Verzerrungen folgt:
̃
∂ψ
∂ ϕ̃
ϵ̃ x =
z , ϵ̃ y =−
z
∂x
∂y
̃ ∂ ϕ̃
∂w
∂w
∂ψ
̃
̃
̃
γ̃ xy =
−
z , γ̃ yz =−ϕ+
, γ̃ xz = ψ+
̃
∂y ∂x
∂y
∂x
(
)
–
Einsetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeit führt auf die
Plattentheorie von Reissner und Mindlin für schubweiche
Platten.
–
In der Plattentheorie von Reissner und Mindlin wird die Platte durch die drei Variablen w, φ und ψ beschrieben.
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-10
1. Bewegungsgleichung
●
30.04.15
Plattentheorie von Kirchhoff:
–
–
–
Bei dünnen Platten können die Scherungen γxz und γyz vernachlässigt werden.
∂w
∂w
, ψ=−
Aus γxz = γyz = 0 folgt: ϕ=
∂y
∂x
Für die verbleibenden Verzerrungen folgt:
2
2
2
∂ w
∂ w
∂ w
ϵ x =− 2 z , ϵ y =− 2 z , γ xy =−2
z
∂x∂y
∂x
∂y
–
Für die virtuellen Verzerrungen wird gefordert:
γ̃ xz = γ̃ yz =0
2
2
∂2 w
∂
w
∂
w
̃
̃
̃
→ ϵ̃ x =− 2 z , ϵ̃ y =− 2 z , γ̃ xy =−2
∂x∂y
∂x
∂y
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-11
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Mit der Abkürzung
[ ]
–
Für die Spannungen folgt:
∂ w
− 2
∂x
2
∂
w
[ κ ]=
− 2
∂y
2
∂ w
−2
∂x∂y
gilt:
ϵx
ϵy = [ κ ] z
γ xy
[ ]
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[ ][ ]
0
σx
ϵx
E
0
σy =
ϵy
2
1−ν
γ xy
τ xy 1−ν 0 0
2
2
1 ν
ν 1
[]
=[ E M ] [ κ ] z
–
Mit
[ ]
folgt
ϵ̃ : σ =z 2 [ κ̃ ] T [ E M ] [ κ ]
3. Die ebene Platte
ϵ̃ x
ϵ̃ y = [ κ̃ ] z
γ̃ xy
Strukturdynamik
3.1-12
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass die Platte homogen
ist.
–
Dann gilt:
h/ 2
3
h
∫ ϵ̃ : σ dV =∫ ∫ ϵ̃ : σ dz dA= 12 ∫ [ κ̃ ]T [ E M ] [ κ ] dA
V
A −h/ 2
A
–
Mit der Biegesteifigkeitsmatrix
[
1 ν
0
h3
E h3
ν 1
0
[ E B ]= 12 [ E M ]=
2
12 ( 1−ν ) 0 0 (1−ν)/2
folgt:
]
T
[
]
̃
ϵ
̃
:
σ
dV
=
κ
∫
∫ [ E B ] [ κ ] dA
V
Prof. Dr. Wandinger
A
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-13
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Die Konstante
B=
E h3
12(1−ν2 )
wird als Plattensteifigkeit bezeichnet.
–
Für den Trägheitsterm folgt:
h /2
(
h /2
¨ ϕ̃ ϕ¨ ) + w̃ w¨ ) dz
∫ ρ ũ u¨ dV =∫ ∫ ρ ũ u¨ dz dA=∫ ρ ∫ ( z 2 ( ψ̃ ψ+
V
A −h /2
=ρ h ∫
A
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A
(
−h /2
2
)
dA
)
h
̃ ψ+
¨ ϕ̃ ϕ¨ ) + w
(ψ
̃ w¨ dA≈ρ h ∫ w
̃ w¨ dA
12
A
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-14
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Für den Lastterm auf der rechten Seite des Prinzips der virtuellen Arbeit gilt:
∫ ũ ⋅t dA=∫ w̃ p dA
A
–
A
Damit lautet das Prinzip der virtuellen Arbeit für die Kirchhoff-Platte:
∫ [ κ̃ ]T [ E B ] [ κ ] dA+ρ h ∫ w̃ w¨ dA=∫ w̃ p dA
A
Prof. Dr. Wandinger
A
3. Die ebene Platte
für alle w
̃
A
Strukturdynamik
3.1-15
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
●
Die rechteckige Platte:
–
–
Für die rechteckige Platte
können analytische Lösungen angegeben werden.
Dazu wird zunächst eine
partielle Differentialgleichung für die Verschiebung w aus dem Prinzip
der virtuellen Arbeit hergeleitet.
Prof. Dr. Wandinger
z
x
a
3. Die ebene Platte
b
y
0≤ x≤a
0≤y≤b
Strukturdynamik
3.1-16
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Der Ausdruck für die virtuelle Arbeit der Spannungen wird
zweimal partiell integriert:
b
a
((
∫ ϵ̃ : σ dA=−z ∫ ∫
A
–
0
0
2
2
) )
2
∂ w
∂ w
∂ w
̃
̃
̃
σx + 2 σy+ 2
τ xy dx dy
2
∂x∂y
∂x
∂y
Integration des 1. Terms:
a
2
x= a
a
[ ]
[ ] [
∂ w
∂w
̃
̃
∫ ∂ x 2 σ x dx= ∂ x σ x
0
∂w
̃ ∂ σx
−∫
dx
x= 0
0 ∂x ∂x
x= a
∂ σx
∂ w̃
=
σx
−w
̃
∂x
∂x
x= 0
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
]
x =a
x =0
a
+∫ w̃
0
2
∂ σx
∂x
2
dx
Strukturdynamik
3.1-17
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Integration des zweiten Terms:
b
2
y=b
b
[ ]
[ ] [
∂ w̃
∂w
̃
∫ ∂ y 2 σ y dy= ∂ y σ y
0
∂w
̃ ∂σy
−∫
dx
y=0
0 ∂y ∂y
y=b
∂σy
∂w
̃
=
σy
−w
̃
∂y
∂y
y=0
–
]
y=b
y=0
b
+∫ w̃
0
∂2 σ y
∂y
2
dx
Integration des dritten Terms:
b
∫
0
(
a
b
) ([ ]
] ∫ ([ ]
∂2 w
∂ w̃
̃
∫ ∂ x ∂ y τ xy dx dy=∫ ∂ y τ xy
0
0
b
=∫
0
[
∂ w̃
τ xy
∂y
Prof. Dr. Wandinger
x=a
a
dy−
x=0
0
∂ τ xy
w
̃
∂x
x=a
a
)
∂w
̃ ∂ τ xy
−∫
dx dy
x=0
0 ∂y ∂x
y=b
∂ 2 τ xy
−∫ w
dy dx
̃
∂x∂y
y=0
0
3. Die ebene Platte
b
)
Strukturdynamik
3.1-18
1. Bewegungsgleichung
–
30.04.15
Als Randbedingungen können auftreten:
●
Gelenkig gelagerte Kante:
x=0 : w(0, y)=0 → ∂ w /∂ y=0 ;
σ x =0
x=a : w( a , y)=0 → ∂ w /∂ y=0 ; σ x =0
●
y=0
: w( x , 0)=0 → ∂ w / ∂ x=0 ; σ y =0
y=b
: w( x , b)=0 → ∂ w / ∂ x=0 ; σ y =0
Fest eingespannte Kante:
x=0
x=a
y=0
y=b
Prof. Dr. Wandinger
:
:
:
:
w(0, y)=0
w( a , y)=0
w( x , 0)=0
w( x , b)=0
→
→
→
→
∂ w /∂ y=0 ;
∂ w /∂ y=0 ;
∂ w /∂ x=0 ;
∂ w /∂ x=0 ;
3. Die ebene Platte
∂ w / ∂ x=0
∂ w / ∂ x=0
∂ w / ∂ y=0
∂ w / ∂ y=0
Strukturdynamik
3.1-19
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
●
Freie Kante:
x=0
x=a
y=0
: σ x =0 ; τ xy (0, y)=0 → ∂ σ x /∂ x=−∂ τ xy /∂ y=0
: σ x =0 ; τ xy (a , y)=0 → ∂ σ x /∂ x =−∂ τ xy / ∂ y=0
: σ y =0 ; τ xy ( x , 0)=0 → ∂ σ y /∂ y=−∂ τ xy /∂ x =0
y=b
: σ y =0 ; τ xy ( x , b)=0 → ∂ σ y / ∂ y=−∂ τ xy /∂ x =0
–
Da die virtuellen Verschiebungen die gleichen Randbedingungen wie die Verschiebungen erfüllen müssen, sind alle
Randterme für alle drei Arten von Randbedingungen null.
–
Die Randbedingungen für die Verschiebungen heißen wesentliche Randbedingungen, die Randbedingungen für die
Spannungen heißen natürliche Randbedingungen.
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-20
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
(
2
2
2
)
∂ σ x ∂ σy
∂ τ xy
∫ ϵ̃ : σ dA=−z ∫ w̃ ∂ x 2 + ∂ y2 + 2 ∂ x ∂ y dA
A
A
–
Damit gilt:
–
Mit dem Materialgesetz folgt:
2
∂2 σ x ∂2 σ y
∂ 2 τ xy
∂2 ϵ y
∂2 ϵ x ∂2 ϵ y
E ∂ ϵx
+
+2
=
+ν 2 +ν 2 + 2
2
2
2
2
∂ x ∂ y 1−ν ∂ x
∂x
∂y
∂x
∂y
∂y
(
∂ 2 γ xy
+ ( 1−ν )
∂x∂y
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
)
Strukturdynamik
3.1-21
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
–
Einsetzen für die Verzerrungen ergibt:
∂2 σ x ∂2 σ y
∂ 2 τ xy
+
+2
2
2
∂ x∂y
∂x
∂y
E z ∂4 w
∂4 w
∂4 w
∂4 w
=−
+ 2 ν 2 2 + 4 +2 ( 1−ν ) 2 2
2
4
1−ν ∂ x
∂x ∂y ∂y
∂x ∂y
(
(
E z ∂4 w
∂4 w
∂4 w
=−
+2 2 2 + 4
2
4
1−ν ∂ x
∂x ∂y ∂y
–
)
)
Einsetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeit ergibt:
(
4
4
4
2
)
∂ w
∂ w
∂ w ρh ∂ w
p
∫ w̃ ∂ x 4 +2 ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ y 4 + B ∂ t 2 dA=∫ w̃ B dA
A
A
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-22
1. Bewegungsgleichung
–
30.04.15
Damit diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen erfüllt ist, muss gelten:
∂4 w
∂4 w
∂4 w ρ h ∂2 w p
+2 2 2 + 4 +
=
4
2
B ∂t
B
∂x
∂x ∂y ∂y
–
Diese partielle Differentialgleichung ist die Bewegungsgleichung für die ebene rechteckige Platte.
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-23
30.04.15
1. Bewegungsgleichung
●
Anmerkungen:
–
Die gleiche Bewegungsgleichung folgt auch für andere Plattengeometrien.
–
Das Prinzip der virtuellen Arbeit wird auch als schwache
Formulierung der Bewegungsgleichung bezeichnet.
–
Die schwache Formulierung ist für die Untersuchung der
Existenz der Lösungen und ihrer Eigenschaften sowie für
numerische Berechnungsverfahren günstiger.
–
Die partielle Differentialgleichung ist für die Ermittlung analytischer Lösungen für einfache Plattengeometrien geeigneter.
Prof. Dr. Wandinger
3. Die ebene Platte
Strukturdynamik
3.1-24

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