5. Guldinsche Regeln ● 29.06.15 Mit den Guldinschen Regeln lässt sich – das Volumen eines Rotationskörpers aus den Koordinaten des Flächenschwerpunktes der erzeugenden Fläche berechnen – die Oberfläche eines Rotationskörpers aus den Koordinaten des Linienschwerpunktes des Randes der erzeugenden Fläche berechnen Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-1 29.06.15 5. Guldinsche Regeln ● Rotationskörper: z – Ein Rotationskörper entsteht durch Rotation einer erzeugenden Fläche um eine Rotationsachse. – Die Rotationsachse darf die erzeugende Fläche nicht schneiden. Prof. Dr. Wandinger Erzeugende Fläche 2. Schwerpunkt z TM 1 2.5-2 29.06.15 5. Guldinsche Regeln ● Volumen eines Rotationskörpers: – – Der Rotationskörper ist aus infinitesimalen Ringen aufgebaut. z r dA Für das Volumen eines Rings gilt: dV =2 π r dA Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-3 29.06.15 5. Guldinsche Regeln – Summation über alle Ringe ergibt das gesamte Volumen: z r rS V =2 π ∫ r dA A – Mit S ∫ r dA=r S A dA A folgt die 1. Guldinsche Regel: rS : Radius des Flächenschwerpunkts – V =2 π r S A Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt Volumen = Weg des Flächenschwerpunkts mal Fläche TM 1 2.5-4 29.06.15 5. Guldinsche Regeln ● Zusammengesetzte Körper: – z A1 r1 Aus r S A=∑ r i Ai folgt: A2 V =2 π ∑ r i Ai – Summation über die Teilkörper ergibt das gleiche Ergebnis: V = ∑ 2 π r i Ai Prof. Dr. Wandinger r2 A3 r3 V =2 π ( r 1 A1 +r 2 A2 +r 3 A3 ) 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-5 29.06.15 5. Guldinsche Regeln ● Beispiel: Volumen einer Felge – z Flächen: ● Quadrat: ● Halbkreis: 1 π 2 π 2 AH = ⋅ d = d 2 4 8 rS – d r Schwerpunkte: ● Quadrat: ● Halbkreis: d d r SQ = 2 2 2 r SH =d− d =d 1− 3π 3π ( d = 5 cm Prof. Dr. Wandinger AQ =d 2 2. Schwerpunkt ) TM 1 2.5-6 29.06.15 5. Guldinsche Regeln – V =2 π ( r SQ AQ −r SH AH ) Volumen: 3 d 2 d 2 2 2 π π π r SQ AQ −r SH A H =d ⋅ − d ⋅d 1− = 1− + ⋅ 2 8 3π 2 4 4 3π ( ) ( d 2 d 14 = ( 4−π+ )=( ) ( −π ) 8 3 2 3 d 14 V =2 π ( ) ( −π ) 2 3 3 ) 3 3 – Zahlenwert: Prof. Dr. Wandinger V =149,7 cm 3 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-7 29.06.15 5. Guldinsche Regel ● Beispiel: Flächenschwerpunkt eines Halbkreises z – Durch Rotation des Halbkreises entsteht eine Kugel. – Volumen der Kugel: 4 3 V= πr 3 Halbkreisfläche: 1 2 A= π r 2 Flächenschwerpunkt: r – S x – rS Prof. Dr. Wandinger V 4 r rS= = π 2π A 3 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-8 29.06.15 5. Guldinsche Regeln ● Oberfläche eines Rotationskörpers: – Die Oberfläche des Rotationskörpers ist aus infinitesimalen Ringen zusammengesetzt. – Für die Oberfläche eines Rings gilt: z dO=2 π r ds Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt r ds TM 1 2.5-9 29.06.15 5. Guldinsche Regeln – Summation über alle Ringe ergibt die gesamte Oberfläche: z r O=2 π ∫ r ds – rS L Mit ds ∫ r ds=r S L S L folgt die 2. Guldinsche Regel: rS : Radius des Linienschwerpunkts O=2 π r S L Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-10 29.06.15 5. Guldinsche Regeln ● Beispiel: Oberfläche eines Torus – – R rS r – Länge des Randes: L=2 π r Linienschwerpunkt des Randes: r S =R−r Oberfläche: O=2 π L r S =2 π⋅2 π r (R−r ) =4 π2 r (R−r ) 2 ( ( )) r 2 2 r =4 π R − R R Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-11 29.06.15 5. Guldinsche Regeln ● z Zusammengesetzte Körper: – L2 Aus r S L =∑ r i L i folgt: r3 Summation über die Teilflächen ergibt das gleiche Ergebnis: O=∑ 2 π r i L i Prof. Dr. Wandinger L1 L8 O=2 π ∑ r i L i – L3 L6 L4 L7 L5 O=2 π ( r 1 L 1 +r 2 L 2 +r 3 L 3 + r 4 L 4 +r 5 L 5 +r 5 L 5 + r 6 L 6 +r 7 L 7 +r 8 L 8 ) 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-12 29.06.15 5. Guldinsche Regeln ● Beispiel: Fass aus Wellblech – – Gegeben: ● Radien R und r, Wandstärke t ● 2n+1 Halbwellen (Halbkreise) ● Massendichte ρ r Gesucht: ● Masse m t t R Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.5-13 29.06.15 5. Guldinsche Regeln – Halbwelle: ● ● – Linienschwerpunkt: r S =R±2 r / π L=π r Länge: Oberfläche des Fasses: 2r 2r O=2⋅π R +(n+1)⋅2 π R+ π ⋅π r + n⋅2 π R− π ⋅π r 2 r r =2 π R 2 1+(2 n+1)π + 2 2 R R ( 2 [ – ) ( ) ] Masse des Fasses: [ ( )] r r 2 m=ρ t O=2 π ρ t R 1+(2 n+1)π +2 R R Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt 2 TM 1 2.5-14
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