EA - Prof. Dr.-Ing. Johannes Wandinger

1. Stabsysteme
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-1
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
●
Längenänderung eines Stabs:
–
–
Die Verschiebungen der Stabknoten können in eine Komponente u parallel zur Stabachse
und eine Komponente v senkrecht zur Stabachse aufgeteilt
werden.
Für kleine Verschiebungen gilt:
●
Geometrische Überlegungen
dürfen an der unverformten
Struktur durchgeführt werden.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
x
v2
y
2
u2
y
v1
φ
1
u1
x
TM 2 4.1-2
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
●
●
Die Verschiebungen senkrecht
zur Stabachse beschreiben
eine Drehung, bei der sich die
Länge des Stabs nicht ändert.
Nur die Verschiebungen parallel zur Stabachse führen zu einer Längenänderung des
Stabs:
Δ L=ū 2 −ū1
–
v2
2
1
v1
uk
vk
Für die Verschiebung parallel
zur Stabachse gilt:
x
φ
φ
uk
ū k =u k cos (ϕ)+ v k sin (ϕ) , k=1,2
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-3
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
–
Damit gilt für die Längenänderung:
Δ L=( u 2 −u 1 ) cos (ϕ)+ ( v 2 −v1 ) sin (ϕ)
–
Die Längenänderung setzt sich zusammen aus
●
einer Längenänderung ΔLN infolge der Normalkraft,
●
einer Längenänderung ΔLT infolge einer Temperaturänderung,
●
●
einer Anfangsverlängerung ΔL0 infolge einer Fertigungsungenauigkeit:
Δ L=Δ L N +Δ L T +Δ L 0
Für ΔL0 > 0 ist der Stab zu lang und für ΔL0 < 0 zu kurz.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-4
1.1 Statisch bestimmte Stabsystem
–
Für einen Stab mit konstanter Dehnsteifigkeit EA gilt:
Δ L=L
–
(
N
+αT Δ T +Δ L 0
EA
)
Auflösen nach der Normalkraft ergibt:
Δ L Δ L0
N =E A
−
−αT Δ T
L
L
(
–
19.11.15
)
Diese Gleichungen werden im Folgenden als Stabgleichungen bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-5
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
●
Beispiel:
–
Gegeben:
●
–
B
Länge a, Winkel α
●
Dehnsteifigkeit EA
●
Kraft F
φ
x
EA
Gesucht:
●
Verschiebungen uC und vC von
Punkt C
Prof. Dr. Wandinger
y
4. Tragwerke
A
EA
a
α
C
F
TM 2 4.1-6
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
–
Stabkräfte:
NBC
∑ F y=0
: N BC sin (α)−F =0
F
→ N BC =
sin (α)
∑ F x =0
: − N AC − N BC cos (α)=0
→ N AC =−N BC cos (α)=−F cot (α)
–
NAC
α
y
C
F
x
Längenänderungen:
u A=u B =0
v A=v B =0
ϕ=−α
Prof. Dr. Wandinger
Δ L AC =u C
Δ L BC =u C cos (ϕ)+ vC sin (ϕ)
=u C cos (α)−v C sin (α)
4. Tragwerke
TM 2 4.1-7
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
–
–
N AC a
Fa
=−
cot (α)
Stabgleichungen: Δ L AC =
EA
EA
N BC
a
Fa
Δ L BC =
=
E A cos(α) E A sin(α) cos(α)
Für die Verschiebungen folgt:
Fa
u C =Δ L AC =−
cot (α)
EA
1
Fa
1
vC =
u C cos(α)−Δ L BC )=−
cot 2 (α)+ 2
(
sin (α)
EA
sin (α)cos(α)
(
)
3
F a cos (α)+1
=−
E A sin 2 (α)cos(α)
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-8
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
●
Beispiel: Fachwerk
–
–
Gegeben:
●
Länge a
●
Kraft F
●
Temperaturänderung ΔTAB
●
Anfangsverlängerung ΔL0DE
●
Dehnsteifigkeit EA
●
Wärmeausdehnungskoeffizient αT
D
E
A
B
a
y
a
C
a
F
x
Gesucht:
●
Verschiebungen der Knoten B, C und E
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-9
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
–
19.11.15
Stabkräfte (z.B. mit Knotenpunktverfahren):
NDE
NCE
E
NCE
C
NBC
F
N CE = √ 2 F
N BC =−F
NBE
Prof. Dr. Wandinger
NBD
NAB
N BE =−
N DE =
NBE
N CE
√2
N CE
√2
=−F
=F
4. Tragwerke
B N
BC
N BD =−√ 2 N BE = √ 2 F
N BD
N AB =N BC −
=−2 F
√2
TM 2 4.1-10
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
–
Verschiebungen:
●
●
Stab AB:
Stab DB:
(ϕ=−45 °)
N AB
2F
u B =Δ L AB=a
+αT Δ T AB =a αT Δ T AB −
EA
EA
(
) (
N BD 2 F a
u B −v B ) =Δ L BD =√ 2 a
=
(
2
EA EA
√2
2√2 F a
F
→ v B =u B −
=a αT Δ T AB−2 ( 1+ √ 2 )
EA
EA
(
●
Stab DE:
Prof. Dr. Wandinger
)
N DE Δ L 0 DE
F Δ L 0 DE
u E =Δ L DE =a
+
=a
+
EA
a
EA
a
(
4. Tragwerke
) (
)
)
TM 2 4.1-11
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
●
Stab BE:
(ϕ=90 ° )
●
Stab BC:
N BE a
Fa
v E −v B =Δ L BE =
=−
EA
EA
Fa
F
→ v E =v B −
=a α T Δ T AB −( 3+2 √ 2 )
EA
EA
(
N BC a
Fa
uC −u B =Δ L BC =
=−
EA
EA
→ uC =u B −
●
Stab EC:
(ϕ=−45 °)
Prof. Dr. Wandinger
)
√2
2
Fa
3F
=a αT Δ T AB−
EA
EA
(
( uC −u E −vC +v E )=Δ L CE =
4. Tragwerke
)
√ 2 a N CE
EA
2F a
=
EA
TM 2 4.1-12
19.11.15
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
2 √2 F a
=vC
EA
Δ L 0 DE
F
→ vC =a 2 αT Δ T AB −
−( 7+4 √ 2 )
a
EA
uC −u E +v E −
(
●
)
Bei ebenen Fachwerken gilt:
–
Es gibt zwei Verschiebungskomponenten pro Knoten und
damit insgesamt 2K Verschiebungskomponenten.
–
Davon sind L Verschiebungskomponenten an den Lagern
null.
–
Zur Ermittlung der 2K – L unbekannten Verschiebungskomponenten stehen S Stabgleichungen zur Verfügung.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-13
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
–
19.11.15
Bei statisch bestimmten Fachwerken gilt:
2 K =L+S → 2 K −L=S
–
Alle unbekannten Verschiebungskomponenten können aus
den Stabgleichungen bestimmt werden.
–
Dabei empfiehlt es sich, nach Möglichkeit Stäbe zu betrachten, bei denen die Verschiebungen an einem Knoten bereits
bekannt sind.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-14
19.11.15
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
●
Beispiel: Abgestufter Stab
–
Gegeben:
●
●
●
–
A
EA1
B
EA2 , ΔL0
C
Abmessung a
Dehnsteifigkeiten EA 1
und EA 2
a
2a
Anfangsverlängerung
ΔL0 von Stab BC
Gesucht:
●
Stabkräfte
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-15
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
–
N AB =N BC =N
Gleichgewicht:
A
B
N
B
N
C
N
N
a
–
Kinematik:
19.11.15
2a
Δ L=Δ L AB +Δ L BC =0
N AB a 2 a N BC
a 1 2
+
+Δ L 0 =0 →
+
N =−Δ L 0
E A1
E A2
E A1 A 2
(
)
Δ L0
Δ L 0 E A1 A2
E
→ N =−
=−
a 1/ A 1 +2/ A 2
a A 2 +2 A 1
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-16
19.11.15
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
●
Bei statisch unbestimmten Stabsystemen gilt:
–
Die Gleichgewichtsbedingungen allein reichen nicht aus,
um die Stabkräfte zu ermitteln.
–
Zusätzlich müssen die kinematischen Beziehungen verwendet werden.
–
Fertigungsungenauigkeiten und Temperaturlasten führen zu
Stabkräften.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-17
19.11.15
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
●
Beispiel: Fachwerk
–
F
●
Abmessung a
●
Dehnsteifigkeit EA
●
●
●
a
A
Gegeben:
B
a
Kraft F
Temperaturlast ΔT im
Stab BE
–
E
Gesucht:
●
●
4. Tragwerke
x
D
C
ΔT
y
Wärmeausdehungskoeffizient αT
Prof. Dr. Wandinger
a
Verschiebung von Punkt
B
Stabkräfte
TM 2 4.1-18
19.11.15
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
–
Gleichgewicht am Knoten B:
√ 2 N −N =0
F
=0
:
N
−N
+
( BE
∑ x
BC
AB
BD )
2
∑ F y =0 : −F −
√ 2 N + N =0
( BD BE )
2
F
NAB
NBC
B
NBD
y
NBE
x
–
Stabgleichungen:
●
●
Stab AB:
a N AB
uB
u B =Δ L AB =
→ N AB =E A
EA
a
Stab BC:
a N BC
uB
−u B =Δ L BC =
→ N BC =−E A
EA
a
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-19
19.11.15
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
●
●
Stab DB:
√ 2 ( u +v )=Δ L = √ 2 a N BD → N =E A u B +v B
BD
BD
2 B B
EA
2a
Stab BE:
√ 2 (−u +v ) =Δ L = √ 2 a N BE +α Δ T
B
B
BE
T
2
→ N BE
–
(EA
u −v
=−E A (
+α Δ T )
2a
B
B
)
T
Einsetzen der Stabgleichungen in die Gleichgewichtsbedingungen:
[
)]
u B +v B
EA
2 u B −v B
√
∑ F x =0 : a −2 u B − 2 2 + a αT Δ T + 2 = 0
Prof. Dr. Wandinger
(
4. Tragwerke
TM 2 4.1-20
19.11.15
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
√ 2 a αT Δ T
2
2
√
√
→ −
a αT Δ T = 2+
u B → u B =−
2
2
4+ √ 2
(
)
2 E A u B +v B u B −v B
√
−
−a αT Δ T =0
∑ F y =0 : −F −
2
a
(
2
2
)
2
2 EA
√
√
→
E A αT Δ T −F =
vB
2
2
→ v B =a αT Δ T − √ 2
Prof. Dr. Wandinger
a
Fa
EA
4. Tragwerke
TM 2 4.1-21
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
–
19.11.15
Stabkräfte:
uB
u B √ 2 E A αT Δ T
√ 2 E A αT Δ T
N AB =E A =−
, N BC =−E A =
a
a
4+ √ 2
4+ √ 2
u B +v B E A
2
2
N BD =E A
=
1− √
αT Δ T − √ F
2a
2
2
4+ √ 2
2 E A αT Δ T √ 2
=
−
F
2
4+ √ 2
(
)
u B −v B
1 √2
1
2
N BE =−E A
+αT Δ T =E A
− αT Δ T − √ F
2a
2 4+ √ 2 2
2
2 E A αT Δ T √ 2
=−
−
F
2
4+ √ 2
(
Prof. Dr. Wandinger
)
4. Tragwerke
(
)
TM 2 4.1-22
19.11.15
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
●
Statisch unbestimmte Fachwerke:
–
Unbekannt:
Lagerkräfte:
L
Stabkräfte:
S
Verschiebungen:
2K - L
Gesamt:
2K + S
Gleichungen:
Gleichgewicht am
Knoten:
Stabgleichungen:
2K
S
2K + S
Die Stabkräfte können nicht unabhängig von den Verschiebungen bestimmt werden.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-23
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
●
●
19.11.15
Bauteile, deren Verformungen klein sind im Vergleich zu
den Verformungen der übrigen Bauteile, aus denen ein
Tragwerk zusammengesetzt ist, können als starre Körper
betrachtet werden.
Kinematik des starren Körpers:
–
Die Bewegung eines starren Körpers setzt sich aus einer
Translation und einer Rotation zusammen.
–
Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass der Winkel, um den
sich der starre Körper dreht, so klein ist, dass Kreisbögen
durch die Tangente ersetzt werden dürfen.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-24
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
Bei einer kleinen Drehung um einen festen Punkt A gilt:
–
y
yP
δP
x P −x A =r cos(α)
y P −y A=r sin (α)
vP
α
uC
δ P =r tan (ϕ)≈r ϕ
uP
C
P
u P =−δ P sin (α)
=−r ϕ sin (α)
=−( y P −y A ) ϕ=uC
r
φ
yA
vB
φ
A
xA
Prof. Dr. Wandinger
φ
α
B
xP
4. Tragwerke
x
v P =δ P cos(α)
=r ϕ cos(α)
=( x P −y P ) ϕ=v B
TM 2 4.1-25
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Wenn sich der Punkt A selbst verschiebt, so muss die Verschiebung von Punkt A addiert werden.
–
Damit gilt allgemein:
vP
y
u P = u A −( y P −y A ) ϕ
v P = v A+ ( x P − x A ) ϕ
vA
A
φ
P
uP
uA
x
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-26
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
●
Beispiel 1:
–
Gegeben:
●
●
●
–
4a
Abmessung a
Dehnsteifigkeit EA des
Stabs CD
A
starr
2a
Kraft F
●
Stabkraft NCD
●
Kräfte im Lager A
F
C
Gesucht:
●
B
2a
y
x
EA
a
D
Verschiebungen uB und vB
von Punkt B
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-27
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Gleichgewicht am starren Körper:
∑ F x =0
: A x =0
Ax
Ay

4a
A
A
M
∑ =0 :
−2 a N CD −4 a F =0
starr
2a
2a
: −A y −N CD −F =0
→ A y =−N CD −F =F
Prof. Dr. Wandinger
F
y
C
→ N CD =−2 F
∑ F y =0
B
4. Tragwerke
x
NCD
Zugkräfte
Zugkräftezeigen
zeigenvom
vom
starren
starrenKörper
Körperweg.
weg.
TM 2 4.1-28
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Stabgleichung:
–
Kinematik:
N CD a
2Fa
v C =Δ L CD =
=−
EA
EA
u A=v A =0
2F a
v C =2 a ϕ=−
EA
F
→ ϕ=−
EA
φ
Prof. Dr. Wandinger
B
A
starr
2a
y
vC
u B =0
v B =4 a ϕ=−
vB
4a
2a
C
x
4F a
EA
4. Tragwerke
TM 2 4.1-29
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
●
Beispiel 2:
–
●
●
●
–
D
Gegeben:
Abmessung a
a
Dehnsteifigkeit EA der Stäbe BC und DE
Kraft F
●
starr
2a
A
Stabkräfte NBC und NDE
Verschiebungen uF und vF
von Punkt F
Prof. Dr. Wandinger
2a
EA
F
E
Gesucht:
●
a
4. Tragwerke
F
B
2a
y
x
EA
a
C
TM 2 4.1-30
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Gleichgewicht am starren
Körper:
∑M

NDE
A
=0 :
2 √ 2 a N DE −2 a N BC −4 a F =0
→ √ 2 N DE −N BC =2 F
–
Die Kräftegleichgewichte
liefern zwei weitere Gleichungen mit zwei weiteren Unbekannten.
F
E
starr
2a
F
A
–
2a
45°
y
B
Ax
2a
Ay
NBC
x
Das System ist statisch
unbestimmt.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-31
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Kinematik:
δE
u A=v A =0
v B =2 a ϕ
uF
vB
φ
A
F
E
starr
2a
u F =−2 a ϕ
2a
45°
δ E =2 √ 2 a ϕ
vF
B
2a
y
x
v F =4 a ϕ
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-32
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Stabgleichungen:
δ E =−Δ L DE =−
–
√ 2 a N DE
EA
a N BC
, v B =Δ L BC =
EA
Mit den kinematischen Beziehungen folgt:
EA
EA
N DE =−
δ DE =−2 E A ϕ , N BC =
v B =2 E A ϕ
a
√2 a
–
Einsetzen in das Momentengleichgewicht ergibt:
1
(
)
E A −2 √ 2−2 ϕ=2 F → ϕ=−
F
F
(
)
=− √ 2−1
EA
√ 2+1 E A
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-33
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
19.11.15
Damit gilt für die Stabkräfte:
N DE =2 ( √ 2−1 ) F , N BC =−2 ( √ 2−1 ) F
–
Für die Verschiebung von Punkt F folgt:
Fa
Fa
(
)
(
)
u F =2 √ 2−1
, v F =−4 √ 2−1
EA
–
EA
Aus den übrigen beiden Gleichgewichtsbedingungen können die Lagerkräfte im Punkt A ermittelt werden.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-34
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
●
Beispiel 3:
–
Gegeben:
●
●
●
–
D
Abmessung a
●
EA
E
a
Verschiebungen uF und
vF von Punkt F
Prof. Dr. Wandinger
starr
2a
Kraft F
Stabkräfte
F
C
Dehnsteifigkeit EA aller
Stäbe
Gesucht:
●
4a
EA
4. Tragwerke
A
F
y
B
EA
EA
G
x
H
2a
TM 2 4.1-35
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Gleichgewicht am starren Körper:
∑ F x =0
: −N CD −N AE =0
4a
NCD
F
C
∑ F y =0
:
−N AG −N BH −F =0
A
A
M
∑ =0 :
−2 a N BH −4 a F +2 a N CD =0
–
starr
2a
NAE
NAG
F
y
B
2a
x
NBH
Das System ist statisch unbestimmt.
Prof. Dr. Wandinger
4. Tragwerke
TM 2 4.1-36
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Kinematik:
v B =v A +2 a ϕ
u C =u A −2 a ϕ
u F =u A −2 a ϕ
v F =v A + 4 a ϕ
–
A
Stabgleichungen:
N AE a
u A=Δ L AE =
EA
N AG a
v A =Δ L AG =
EA
Prof. Dr. Wandinger
uC
C
2a
vA
4a
vF
F
uF
starr
φ
uA
2a
vB
y
B
x
N BH a
v B =Δ L BH =
EA
N CD a
u C =Δ L CD =
EA
4. Tragwerke
TM 2 4.1-37
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Mit der Kinematik folgt aus den Stabgleichungen:
EA
EA
N AE =
u A , N AG =
vA
a
a
EA
EA
N BH =
( v A +2 a ϕ ) , N CD =
( u A −2 a ϕ )
a
a
–
Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen ergibt:
EA
∑ F x =0 : − a ( u A −2 a ϕ+u A )=0
EA
F
=0
:
−
v A +v A +2 a ϕ )=F
(
∑ y
a
∑ M A=0
Prof. Dr. Wandinger
19.11.15
: 2 E A (−v A −2 a ϕ+u A−2 a ϕ )=4 a F
4. Tragwerke
TM 2 4.1-38
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Daraus folgt:
2 uA
−2 a ϕ =
2vA
uA
–
Auflösen ergibt:
−v A
0
Fa
+2 a ϕ = −
EA
2Fa
−4 a ϕ =
EA
(2)
(3)
1 Fa
(1) → u A=a ϕ , (2) → v A =−
−a ϕ
2 EA
Fa
1
in (3): ( 1+1−4 ) a ϕ=
2−
EA
2
( )
(1) → u A=−
Prof. Dr. Wandinger
(1)
3 F
→ ϕ=−
4 EA
3 Fa
1 3 Fa 1 Fa
, (2) → v A =− −
=
4 EA
2 4 EA 4 EA
(
4. Tragwerke
)
TM 2 4.1-39
19.11.15
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
–
Damit gilt für die Stabkräfte:
3
1
N AE =− F , N AG = F
4
4
1 3
5
3 3
3
N BH = − F =− F , N CD = − + F = F
4 2
4
4 2
4
(
–
)
(
)
Für die Verschiebung von Punkt F folgt:
3 3 Fa 3 Fa
1
Fa
11 F a
uF= − +
=
, v F = −3
=−
4 2 EA 4 EA
4
EA
4 EA
(
Prof. Dr. Wandinger
)
( )
4. Tragwerke
TM 2 4.1-40

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