2. Körper ● ● ● ● 23.06.15 Der Kräftemittelpunkt für Volumenkräfte, die proportional zur Massendichte sind, wird als Massenmittelpunkt bezeichnet. Da die Schwerkraft in sehr guter Näherung proportional zur Massendichte ist, wird der Massenmittelpunkt meist als Schwerpunkt bezeichnet. Bei geradliniger Beschleunigung greift die resultierende Trägheitskraft am Massenmittelpunkt an. Daher hat der Massenmittelpunkt auch in der Kinetik, der Fahrdynamik und der Flugmechanik eine große Bedeutung. Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-1 2. Körper ● 23.06.15 Bei homogenen Körpern stimmt der Massenmittelpunkt mit dem einfacher zu berechnenden Volumenmittelpunkt überein. Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-2 23.06.15 2. Körper ● Massenmittelpunkt: – Betrachtet wird ein starrer Körper, der durch sein Eigengewicht belastet wird. – Die Schwerkraft wirkt entgegen der z-Achse. – Die Kräfte ΔGi an den einzelnen Massenelementen bilden eine Gruppe paralleler Kräfte. Prof. Dr. Wandinger z 2. Schwerpunkt y g ΔGi x TM 1 2.2-3 2. Körper – 23.06.15 Mit F i=−Δ G i =−g Δ mi folgt: F R =−G=−∑ g Δ mi =−m g i x S= 1 1 1 x F = x −g Δ m = x i Δ m1 ∑ ∑ ∑ i i i( i) FR i −m g i m i 1 1 1 y S = ∑ yi F i = y i (−g Δ mi ) = ∑ yi Δ m1 ∑ FR i −m g i m i – Wird der Körper so gedreht, dass die Schwerkraft in Richtung der y-Achse wirkt, so gilt: F i=g Δ m i , F R =∑ g Δ mi =m g i Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-4 2. Körper 23.06.15 1 1 1 zS= ∑ zi F i= z i g Δ m i= ∑ z i Δ m i ∑ FR i mg i m i – Damit folgt: – Der Grenzübergang auf infinitesimale Volumenelemente ergibt: 1 1 1 x S = ∫ x dm , y S = ∫ y dm , z S = ∫ z dm mK mK mK – Unabhängig von der Lage des Körpers im Raum ist das Moment der Schwerkraft um den Massenmittelpunkt null. Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-5 2. Körper ● 23.06.15 Volumenmittelpunkt: – Ein homogener Körper ist ein Körper mit konstanter Massendichte ρ. – Mit m = ρV und dm = ρdV folgt für den Massenmittelpunkt: 1 1 1 x S = ∫ x dV , y S = ∫ y dV , z S = ∫ z dV V V V V V V – Der so berechnete Punkt wird als Volumenmittelpunkt bezeichnet. – Der Volumenmittelpunkt hängt nur von der Geometrie des Körpers ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-6 23.06.15 2. Körper ● – Bei einem homogenen Körper stimmt der Volumenmittelpunkt mit dem Massenmittelpunkt überein. – Die Koordinaten des Volumenmittelpunkts sind für viele Körper tabelliert. Symmetrische Körper: – Bei Körpern mit einer Symmetrieebene liegt der Schwerpunkt in der Symmetrieebene. – Bei Körpern mit zwei Symmetrieebenen liegt der Schwerpunkt auf der Schnittgeraden der Symmetrieebenen. – Bei Körpern mit drei Symmetrieebenen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieebenen. Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-7 2. Körper Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt 23.06.15 TM 1 2.2-8 2. Körper Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt 23.06.15 TM 1 2.2-9 23.06.15 2. Körper ● Zusammengesetzte Körper: – Der Schwerpunkt kann aus den Massen und den Koordinaten der Schwerpunkte der Teilkörper berechnet werden: 1 1 1 x S = ∫ x dm= ∑ ∫ x dm= ∑ x Si m i mit m=∑ mi mK m i K m i i i – Dabei sind mi die Masse und xSi die Schwerpunktskoordinaten des i-ten Teilkörpers Ki . – Entsprechend gilt für die übrigen beiden Koordinaten: 1 1 y S = ∑ y Si mi , z S = ∑ z Si m i m i m i Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-10 23.06.15 2. Körper – Damit gilt für die Koordinaten des Massenmittelpunkts: 1 1 1 x S = ∑ x Si mi , y S = ∑ y Si m i , z S = ∑ z Si m i m i m i m i – Entsprechend folgt für den Volumenmittelpunkt: 1 x S= V – 1 1 ∑ x Si V i , y S= V ∑ y Si V i , z S = V ∑ z Si V i i i i Wenn alle Teilkörper homogen sind und die gleiche Massendichte haben, stimmt der Massenmittelpunkt mit dem Volumenmittelpunkt überein. Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-11 23.06.15 2. Körper ● Beispiel: – – – z Der Körper besteht aus einem homogenen Quader und einem homogenen Zylinder. h Beide Teilkörper haben die gleiche Massendichte. Abmessungen: ● ● a = 6 cm, b = 5 cm, c = 2 cm b c y x d = 4 cm, h = 8 cm Prof. Dr. Wandinger d a 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-12 23.06.15 2. Körper – Quader: – V Q =a⋅b⋅c=60 cm 3 c zQS = =1 cm 2 zQS V Q =60 cm 4 – z ZS V Z =603,0 cm 4 Gesamt: – V =V Q +V Z =160,5 cm 3 zQS V Q + z ZS V Z =663 cm Prof. Dr. Wandinger Zylinder: V Z = π⋅d 2 h=100,5 cm 3 4 h z ZS =c+ =6 cm 2 Schwerpunkt: x S = y S =0 (Symmetrie) 4 2. Schwerpunkt 663 zS= cm=4,13 cm 160,5 TM 1 2.2-13 23.06.15 2. Körper ● Beispiel: Gelochte Platte y y 1,5 2,5 S2 6 S1 Ø2 x 10 z 2 Alle Maße in cm Prof. Dr. Wandinger 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-14 23.06.15 2. Körper – Platte: – V L =− π⋅22⋅2=−2 π 4 V P =6⋅10⋅2=120 x PS =5 y PS =3 x LS =10−2,5=7,5 y LS =6−1,5=4,5 x PS V P =5⋅120=600 y PS V P =3⋅120=360 – Gesamt: V =120−2 π=113,7 x PS V P + x LS V L =552,9 y PS V P + y LS V L =331,7 Prof. Dr. Wandinger Loch: x LS V L =−7,5⋅2 π=−47,12 y LS V L =−4,5⋅2 π=−28,27 – Schwerpunkt: 552,9 331,7 x S= =4,86 , y S = =2,92 113,7 113,7 z S =1 cm (Symmetrie) 2. Schwerpunkt TM 1 2.2-15