x - Prof. Dr.-Ing. Johannes Wandinger

08.10.15
3. Ebener Spannungszustand
●
●
Die am Zugstab und am Druckbehälter gewonnenen Erkenntnisse werden nun auf allgemeine ebene Probleme
erweitert.
Dabei wird untersucht,
–
welche Bedingungen die Spannungen erfüllen müssen,
–
welche Spannungen in einer beliebigen Schnittebene auftreten,
–
in welchen Schnittebenen die größte Normalspannung und
die größte Schubspannung auftreten,
–
welche Kriterien Versagen anzeigen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-1
3. Ebener Spannungszustand
08.10.15
3.1 Definitionen
3.2 Gleichgewicht
3.3 Spannungstransformation
3.4 Hauptspannungen
3.5 Festigkeitshypothesen
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-2
08.10.15
3.1 Definitionen
●
Spannungsvektor:
–
Betrachtet wird ein beliebiger Schnitt durch eine Scheibe.
–
Die Flächenkraft in der Schnittfläche wird durch den Spannungsvektor t beschrieben.
–
Für die Kraft am
Flächenelement ΔA gilt:
Δ F =t Δ A
P
t
ΔA
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2. Ebene Elastizitätstheorie
n
TM 2 2.3-3
08.10.15
3.1 Definitionen
–
–
Der Spannungsvektor t hängt ab
●
vom betrachteten Punkt P
●
von der Schnittrichtung
Die Schnittrichtung wird durch den Normalenvektor n beschrieben:
●
●
Der Normalenvektor ist ein Einheitsvektor, der senkrecht auf
der Tangentialebene im Punkt P steht.
Der Normalenvektor zeigt aus dem geschnittenen Körper
heraus.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-4
08.10.15
3.1 Definitionen
–
Am gegenüberliegenden Schnittufer zeigt der Normalenvektor in die Gegenrichtung.
–
Aus dem Wechselwirkungsgesetz folgt:
n
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n
t
P
t (−n )=−t ( n )
t
2. Ebene Elastizitätstheorie
P
TM 2 2.3-5
3.1 Definitionen
●
●
08.10.15
Spannungszustand:
–
Die Gesamtheit aller Spannungsvektoren t(P, n) an einem
Punkt P der Scheibe heißt Spannungszustand im Punkt P.
–
Die Gesamtheit der Spannungszustände an allen Punkten
P der Scheibe heißt Spannungsfeld in der Scheibe.
Achsenparallele Schnitte:
–
Auf einer achsenparallelen Schnittebene ist der Normalenvektor parallel zu einer Achse des Koordinatensystems.
–
Am positiven Schnittufer zeigt der Normalenvektor in Richtung der Koordinatenachse und am negativen Schnittufer
entgegen der Richtung der Koordinatenachse.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-6
08.10.15
3.1 Definitionen
Positive
Schnittufer
n = ey
y
n = -ex
σy
τxy
τyx
σx
n = ex
σx
τyx
x
τxy
n = -ey
Negative
Schnittufer
[ t ( P , e x )] =[ στ x ] , [ t (P , e y ) ] =[ τσxy ]
yx
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σy
2. Ebene Elastizitätstheorie
y
TM 2 2.3-7
3.1 Definitionen
08.10.15
–
Am positiven Schnittufer zeigen positive Spannungen in positive Koordinatenrichtung und am negativen Schnittufer in
negative Koordinatenrichtung.
–
Positive Normalspannungen bedeuten eine Beanspruchung
auf Zug und negative Normalspannungen eine Beanspruchung auf Druck.
–
Der Index bei den Normalspannungen entspricht der Koordinatenachse, auf der die Schnittfläche senkrecht steht.
–
Bei den Schubspannungen gibt der linke Index die Richtung
der Spannung und der rechte Index die Richtung des Normalenvektors an.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-8
08.10.15
3.2 Gleichgewicht
●
●
Aus der Scheibe wird ein
beliebiges Rechteck mit
achsenparallelen Kanten
herausgeschnitten.
yD
–
An den Kanten greifen
die Spannungen an.
Im Inneren greift eine Volumenlast mit den Komponenten fx und fy an.
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τyx
yA
A
τxy
O
2. Ebene Elastizitätstheorie
τxy
D f
y
σx
Belastung:
–
σy
y
xA
C
fx
τyx
σx
B
σy
xB
x
Dicke h
TM 2 2.3-9
3.2 Gleichgewicht
O
M
∑ =0 :
xB
08.10.15
xB
∫ x ( σ y (x , y D )−σ y ( x , y A )) h dx−∫ ( y D τ xy ( x , y D )−y A τ xy ( x , y A )) h dx
xA
yD
xA
yD
−∫ y ( σ x ( x B , y )−σ x ( x A , y) ) h dy+∫ ( x B τ yx (x B , y )− x A τ yx ( x A , y) ) h dy
yA
xB yD
yA
+∫ ∫ ( x f y −y f x ) h dy dx=0
x A yA
xB y D
yD
∑ F x =0 : ∫∫ f x h dy dx+∫ ( σ x ( x B , y)−σ x ( x A , y )) h dy
x A yA
xB
yA
+∫ ( τ xy ( x , y D )−τ xy ( x , y A ) ) h dx=0
xA
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-10
08.10.15
3.2 Gleichgewicht
x B yD
yD
∑ F y =0 : ∫∫ f y h dy dx+∫ ( τ yx ( x B , y )− τ yx ( x A , y )) h dy
xA yA
xB
yA
+∫ ( σ y ( x , y D )−σ y (x , y A ) ) h dx=0
xA
–
Ausdrücken der Differenzen durch Integrale ergibt:
xB y D
∑ F x =0 : ∫∫ (
x A yA
x B yD
∑ F y =0 : ∫∫ (
xA yA
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∂ σ x ∂ τ xy
f x+
+
dy dx=0
∂x ∂y
)
∂ τ yx ∂ σ y
f y+
+
dy dx=0
∂x ∂y
)
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-11
08.10.15
3.2 Gleichgewicht
O
M
∑ =0 :
x B yD
[(
∫∫ [ (
∫∫
xA yA
x B yD
=
x A yA
x B yD
]
]
∂ σy
∂ σx
∂
x
+ fy −
+ f x + ∂ ( x τ yx ) dy dx
( y τ xy )−y
∂y
∂y
∂x
∂x
)
(
)
∂ σ y ∂ τ yx
∂ σ x ∂ τ xy
x
+
+ f y −y
+
+ f x + τ yx −τ xy dy dx
∂y ∂x
∂x
∂y
) (
)
=∫ ∫ ( τ yx − τ xy ) dy dx=0
x A yA
–
Damit die Integrale für beliebige Integrationsgrenzen null
sind, müssen die Integranden null sein.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-12
08.10.15
3.2 Gleichgewicht
–
Damit folgt aus dem Momentengleichgewicht das Gesetz
der zugeordneten Schubspannungen:
τ yx = τ xy
–
Aus den Kräftegleichgewichten folgen zwei partielle Differenzialgleichungen:
∂ σx
∂x
∂ τ xy
∂x
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+
+
∂ τ xy
∂y
∂ σy
∂y
+
fx
=
0
+
fy
=
0
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-13
3.2 Gleichgewicht
08.10.15
–
Die beiden partiellen Differenzialgleichungen reichen nicht
aus, um die drei unbekannten Spannungen σx , σy und τxy zu
bestimmen.
–
Sie müssen durch zusätzliche Gleichungen ergänzt werden,
die das Deformationsverhalten und das Materialgesetz beschreiben.
–
Auf dem Rand der Scheibe muss der Spannungsvektor mit
den aufgebrachten Flächenlasten übereinstimmen.
–
Um diese Randbedingung formulieren zu können, wird eine
Beziehung zwischen dem Spannungsvektor, dem Normalenvektor und den Spannungen σx , σy und τxy benötigt.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-14
3.3 Spannungstransformation
●
●
08.10.15
Zur Ermittlung der Spannungen in einem beliebigen
Schnitt wird der Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor und dem Spannungsvektor benötigt.
Damit lassen sich die Spannungen in ein beliebiges gedrehtes Koordinatensystem umrechnen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-15
08.10.15
3.3 Spannungstransformation
●
Zusammenhang zwischen
Normalenvektor und
Spannungsvektor:
–
–
Am betrachteten Punkt P
wird ein infinitesimales
rechtwinkliges Dreieck
freigeschnitten.
Geometrie:

y
ty
Δy
σx
τxy
Dicke h
n x =cos(ϕ) , n y =sin (ϕ)
n
φ
tx
φ
τxy
σy
x
Δx
Δ x=Δ L sin (ϕ)=Δ L n y
Δ y=Δ L cos(ϕ)=Δ L n x
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-16
3.3 Spannungstransformation
08.10.15
–
Beiträge infolge einer Volumenkraft oder veränderlicher
Spannungen sind klein von mindestens 2. Ordnung und daher nicht mit eingezeichnet.
–
Gleichgewicht:
∑ F x =0
: −σ x h Δ L n x − τ xy h Δ L n y +t x h Δ L=0
∑ F y =0
: −τ xy h Δ L n x −σ y h Δ L n y +t y h Δ L=0
t x =σ x n x + τ xy n y =σ x cos (ϕ)+ τ xy sin (ϕ)
t y =τ xy n x +σ y n y =τ xy cos(ϕ)+σ y sin (ϕ)
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-17
3.3 Spannungstransformation
●
08.10.15
Spannungstensor:
–
Zwischen dem Normalenvektor und dem Spannungsvektor
besteht ein linearer Zusammenhang:
tx
ty
=
=
σ x nx
τ xy n x
+
+
τ xy n y
σy ny
–
Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Vektoren wird in
der Mathematik als Tensor bezeichnet.
–
Der Spannungstensor σ beschreibt den Zusammenhang
zwischen dem Normalenvektor n und dem Spannungsvektor t:
t =σ⋅n
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-18
08.10.15
3.3 Spannungstransformation
–
In Matrix-Schreibweise gilt:
[][
tx
= σx
τ xy
ty
][
]
τ xy n x : [ t ] = [ σ ] [ n ]
σy ny
–
In einem Koordinatensystem wird ein Tensor durch eine Matrix dargestellt.
–
Wegen des Gesetzes der zugeordneten Schubspannungen
ist die Spannungsmatrix und damit auch der Spannungstensor symmetrisch.
–
Der Spannungszustand in einem Punkt wird durch den
Spannungstensor eindeutig beschrieben.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-19
08.10.15
3.3 Spannungstransformation
●
Spannungskomponenten senkrecht und parallel zum Schnitt:
–
–
Die Normalspannung σn ist die
Komponente des Spannungsvektors t in Richtung der Flächennormalen n.
Die Schubspannung τtn ist die
Komponente des Spannungsvektors t parallel zur Schnittfläche.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
t
ty
n
φ
φ
y
tx
x
TM 2 2.3-20
3.3 Spannungstransformation
–
08.10.15
Normalspannung:
σ n =t x cos(ϕ)+t y sin (ϕ)
=( σ x cos(ϕ)+ τ xy sin (ϕ) ) cos(ϕ)+ ( τ xy cos(ϕ)+σ y sin (ϕ) ) sin (ϕ)
=σ x cos2 (ϕ)+σ y sin 2 (ϕ)+2 τ xy sin (ϕ)cos (ϕ)
–
Schubspannung:
τ tn =−t x sin (ϕ)+t y cos(ϕ)
=−( σ x cos (ϕ)+ τ xy sin (ϕ) ) sin (ϕ)
+ ( τ xy cos(ϕ)+σ y sin (ϕ) ) cos(ϕ)
=−( σ x −σ y ) sin (ϕ)cos(ϕ)+ τ xy ( cos2 (ϕ)−sin 2 (ϕ) )
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-21
08.10.15
3.3 Spannungstransformation
–
Mit
1
1
2
2
cos (ϕ)= ( 1+cos (2 ϕ) ) , sin (ϕ)= ( 1−cos(2 ϕ) )
2
2
2 sin (ϕ)cos(ϕ)=sin (2 ϕ)
folgt:
1
1
σ n = ( σ x +σ y ) + ( σ x −σ y ) cos(2 ϕ)+ τ xy sin (2 ϕ)
2
2
1
τ tn =− ( σ x −σ y ) sin (2 ϕ)+ τ xy cos(2 ϕ)
2
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-22
08.10.15
3.3 Spannungstransformation
●
Drehung des Koordinatensystems:
–
Mit den für die Spannungskomponenten in einem beliebigen
Schnitt gefundenen Beziehungen lassen sich die Komponenten des Spannungstensors
leicht auf ein gedrehtes Koordinatensystem umrechnen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
η
y
ξ
φ
x
TM 2 2.3-23
08.10.15
3.3 Spannungstransformation
–
–
Schnittebene senkrecht zur ξ-Achse:
σ x +σ y σ x −σ y
σ ξ=
+
cos(2 ϕ)+ τ xy sin (2 ϕ)
2
2
σ x −σ y
τ ξ η=−
sin (2 ϕ)+ τ xy cos(2 ϕ)
2
τξη
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2. Ebene Elastizitätstheorie
σξ
ξ
φ
x
Schnittebene senkrecht zur η-Achse:
ψ=ϕ+90 °
σ x +σ y σ x −σ y
σ η=
+
cos (2 ψ)+ τ xy sin (2 ψ)
2
2
σ x +σ y σ x −σ y
=
−
cos(2 ϕ)− τ xy sin (2 ϕ)
2
2
y
η
η
y
ση
ψ
τξη
ξ
x
TM 2 2.3-24
3.3 Spannungstransformation
–
08.10.15
Ergebnis:
σξ
=
ση
=
τξ η =
Prof. Dr. Wandinger
1
( σ x +σ y ) +
2
1
( σ x +σ y ) −
2
−
1
( σ x −σ y ) cos(2 ϕ) + τ xy sin (2 ϕ)
2
1
( σ x −σ y ) cos(2 ϕ) − τ xy sin (2 ϕ)
2
1
( σ x −σ y ) sin (2 ϕ) + τ xy cos(2 ϕ)
2
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-25
08.10.15
3.3 Spannungstransformation
●
Invarianten:
–
Addition der ersten beiden Transformationsgleichungen ergibt:
σ ξ +σ η=σ x +σ y =I 1
–
Die Summe der Normalspannungen hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Sie ist eine Invariante des Spannungstensors.
–
Eine weitere Invariante ist die Determinante der Spannungsmatrix:
σ ξ σ η−τ 2ξ η=σ x σ y −τ 2xy =I 2
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-26
08.10.15
3.3 Spannungstransformation
●
Hydrostatischer Spannungszustand:
–
Gilt in einem Koordinatensystem σx = σy = σ und τxy = 0,
dann gilt in jedem Koordinatensystem:
σ ξ =σ η=σ , τ ξ η=0
–
Die Normalspannungen sind in jeder Richtung gleich, während die Schubspannung verschwindet.
–
Dieser Spannungszustand wird als hydrostatischer Spannungszustand bezeichnet.
–
Ein hydrostatischer Spannungszustand tritt auf bei einem
dünnwandigen Kugelbehälter unter Innendruck.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-27
3.4 Hauptspannungen
●
●
08.10.15
Beim Zugstab wurde festgestellt:
–
Die Normalspannung nimmt ihren größten Wert für eine
Schnittebene senkrecht zur Stabachse an. In dieser Schnitt
ebene ist die Schubspannung null.
–
Die Schubspannung hat den größten Wert in einer Schnitt
ebene, die unter 45° gegen die Stabachse geneigt ist.
Es soll nun untersucht werden, in welchen Schnittebenen
beim allgemeinen ebenen Spannungszustand die Spannungen ihre Extremwerte annehmen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-28
3.4 Hauptspannungen
●
08.10.15
Extremwerte der Normalspannung:
–
Für die Normalspannung in einem beliebigen Schnitt gilt:
1
1
σ n = ( σ x +σ y ) + ( σ x −σ y ) cos(2 ϕ)+ τ xy sin (2 ϕ)
2
2
–
Für ein Extremum muss gelten:
d σn
=0 : − ( σ x −σ y ) sin (2 ϕ E )+2 τ xy cos(2 ϕ E )=0
dϕ
2 τ xy
tan (2 ϕ E )= σ −σ
x
y
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-29
3.4 Hauptspannungen
–
08.10.15
Wegen tan (2 ϕ E )=tan (2(ϕ E ±90 °)) gibt es zwei Lösungen
ϕ E =ϕ A und ϕ E =ϕ B =ϕ A ±90 °
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-30
3.4 Hauptspannungen
08.10.15
–
Es gibt zwei senkrecht aufeinander stehende Schnittrichtungen, für die die Normalspannung einen Extremwert annimmt.
–
Diese Richtungen werden als Hauptrichtungen bezeichnet.
–
Die Hauptrichtungen definieren ein rechtwinkliges Koordinatensystem, das als Hauptachsensystem bezeichnet wird.
–
Da die Normalspannung stetig vom Winkel φ abhängt, ist
einer der beiden Extremwerte ein Maximum und der andere
ein Minimum.
–
Die Hauptrichtung, für die die Normalspannung maximal
wird, wird als 1. Hauptachse bezeichnet. Die 2. Hauptachse
zeigt nach links.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-31
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
–
Bestimmung von φ1:
●
●
●
●
Der Taschenrechner liefert einen Wert für φA zwischen -45°
und 45°.
d σn
Für die Ableitung gilt:
(0)=2 τ xy
dϕ
Damit gilt:
τxy > 0
τxy < 0
φA > 0
φ1 = φA
φ1 = φA - 90°
φA < 0
φ1 = φA + 90°
φ1 = φA
φ1 und τxy haben das gleiche Vorzeichen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-32
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
–
Wert der Schubspannung:
●
●
–
Für die Schubspannung in einem Schnitt senkrecht zu einer
Hauptrichtung gilt:
1
1 d σn
τ 12 =− ( σ x −σ y ) sin(2 ϕ E )+ τ xy cos(2 ϕ E )=
(ϕ E )=0 , E =1,2
2
2 dϕ
In Schnittebenen senkrecht zu den Hauptachsen sind die
Schubspannungen null.
Werte der Extrema:
●
●
Die Extremwerte sind die Normalspannungen in Schnittebenen senkrecht zu den Hauptachsen.
Sie können am einfachsten aus den Spannungsinvarianten
berechnet werden.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-33
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
●
Es muss gelten:
●
Aus der ersten Gleichung folgt:
●
●
σ 1 +σ 2
σ1 σ 2
=
=
σ x +σ y
2
σ x σ y −τ xy
σ 2 =σ x +σ y−σ 1
Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:
2
2
2
σ 1 ( σ x +σ y −σ 1 ) =σ x σ y −τ xy → σ 1 ( σ x +σ y )−σ 1 =σ x σ y −τ xy
2
2
→ 0=σ 1 − ( σ x +σ y ) σ 1 +σ x σ y −τ xy
Die quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen:
σ x +σ y
σ 11/ 2 =
±
2
Prof. Dr. Wandinger
√(
2
σ x +σ y
σ x +σ y
2
−σ x σ y + τ xy =
±
2
2
)
2. Ebene Elastizitätstheorie
√(
2
σ x −σ y
2
+ τ xy
2
)
TM 2 2.3-34
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
●
●
Für σ2 folgt:
Mit σ1 ≧ σ2 gilt:
σ x +σ y
σ 2 1/ 2 =σ x +σ y−σ 1 1/2 =
∓
2
σ x +σ y
σ 1=
+
2
√(
√(
σ x +σ y
σ 2=
−
2
●
√(
σ x −σ y 2 2
+τ xy
2
)
σ x −σ y 2 2
+τ xy
2
)
2
σ x −σ y
2
+ τ xy
2
)
Die Extremwerte der Normalspannung heißen Hauptnormalspannungen oder Hauptspannungen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-35
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
–
Ergebnis:
2
y
2 τ xy
tan (2 ϕ1/2 )= σ −σ
x
y
σ1
1
φ1
sgn (ϕ1 )=sgn ( τ xy )
x
ϕ 2 =ϕ1 +90 °
2
y
1
σ x +σ y
σ 1/ 2 =
±
2
Prof. Dr. Wandinger
√(
σ x −σ y 2 2
+ τ xy
2
)
2. Ebene Elastizitätstheorie
σ2
φ2
x
TM 2 2.3-36
3.4 Hauptspannungen
–
08.10.15
Beispiel:
●
Der Spannungszustand an einem Punkt P wird durch die
Spannungen σx = 200 MPa, σy = 300 MPa und τxy = 100 MPa beschrieben.
●
Gesucht sind die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen.
●
Hauptspannungen:
σ x +σ y 200 MPa+300 MPa
=
=250 MPa
2
2
σ x −σ y 200 MPa 300 MPa
=
=−50 MPa
2
2
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-37
3.4 Hauptspannungen
√(
08.10.15
σ x −σ y 2 2
2
2
+τ xy =√ 50 +100 MPa=111,8 MPa
2
)
σ 1 =250 MPa+111,8 MPa=361,8 MPa
σ 2 =250 MPa−111,8 MPa=138,2 MPa
●
Hauptrichtungen:
tan(2 ϕ A )=
2⋅100
=−2 → ϕ A=−31,72 °
−100
τ xy >0 → ϕ1 =ϕ A +90 °=58,28 °
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-38
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
Spannungen in MPa
300
100
100
200
200
100
y
361,8
138,2
138,2
361,8
1
100
300
2
58,3°
x
Prof. Dr. Wandinger
x
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-39
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
●
Extremwerte der Schubspannung:
–
Für die Schubspannung in einem beliebigen Schnitt gilt:
1
τ tn =− ( σ x −σ y ) sin (2 ϕ)+ τ xy cos(2 ϕ)
2
–
Für ein Extremum muss gelten:
d τ tn
=0 : − ( σ x −σ y ) cos (2 ϕ S )−2 τ xy sin (2 ϕ S )=0
dϕ
2 τ xy
→ cot (2 ϕ S )=− σ −σ =−tan (2 ϕ E )
x
y
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-40
3.4 Hauptspannungen
08.10.15
–
Mit cot (ϕ)=−tan (ϕ±90 °) folgt:
–
Die Schnittrichtungen, in denen die Schubspannung ihre
Extremwerte annimmt, bilden mit den Hauptachsen einen
Winkel von 45°.
–
Die Werte des Maximums und des Minimums ergeben sich,
indem das Hauptachsensystem um -45° bzw. 45° gedreht
wird:
σ 1−σ 2
σ 1−σ 2
τ max =
, τ min =−
=−τ max
2
2
–
Die Extremwerte der Schubspannung heißen Hauptschubspannungen.
Prof. Dr. Wandinger
ϕ S =ϕ E ±45°
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-41
3.4 Hauptspannungen
–
Mit den Beziehungen für die Hauptnormalspannungen folgt
für die Hauptschubspannungen:
τ max =
–
08.10.15
√(
σ x −σ y 2 2
+ τ xy
2
)
Die Normalspannung in einer Schnittebene mit maximaler
Schubspannung berechnet sich zu
σ 1 +σ 2 σ x +σ y
σ n=
=
=σ M
2
2
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-42
3.4 Hauptspannungen
–
08.10.15
Beispiel:
●
●
Der Spannungszustand an einem Punkt P wird durch die
Spannungen σx = 200 MPa, σy = 300 MPa und τxy = 100 MPa beschrieben.
Maximale Schubspannung:
τ max =
●
√(
σ x −σ y 2 2
2
2
+ τ xy =√ 50 +100 MPa=111,8 MPa
2
)
Zugehörige Normalspannung:
200+300
σM =
MPa=250 MPa
2
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-43
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
y
300
1
361,8
2
100
200
100
58,3°
138,2
100
200
111,8
1
45°
250
ξ
x
x
100
Prof. Dr. Wandinger
250
111,8
138,2
300
η
111,8
250
111,8
250
361,8
Spannungen in MPa
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-44
3.4 Hauptspannungen
●
08.10.15
Der Mohrsche Spannungskreis:
–
Der Spannungszustand in einem Punkt wird vollständig
durch die Hauptspannungen σ1 und σ2 und die Hauptrichtung beschrieben.
–
Welche Spannungen in beliebigen Schnittebenen auftreten
können, lässt sich anschaulich am Mohrschen Spannungskreis ablesen.
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2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-45
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
–
Bei gegebenen Hauptspannungen σ1 und σ2 lassen sich die
Spannungen σx , σy und τxy in jedem Koordinatensystem,
dessen x-Achse mit der 1. Hauptrichtung den Winkel φ1 einschließt, aus den Transformationsgleichungen berechnen.
–
Das xy-System entsteht durch Drehung des Hauptachsensystems um den Winkel -φ1.
2
y
1
-φ1
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2. Ebene Elastizitätstheorie
x
TM 2 2.3-46
3.4 Hauptspannungen
–
Damit folgt:
σx
=
σy
=
τ xy =
–
08.10.15
1
( σ 1 +σ 2 ) +
2
1
( σ 1 +σ 2 ) −
2
1
( σ 1 −σ 2 ) cos(2 ϕ1 )
2
1
( σ 1 −σ 2 ) cos(2 ϕ1 )
2
1
( σ 1−σ 2 ) sin (2 ϕ1 )
2
Die geometrische Darstellung dieser Gleichungen wird als
Mohrscher Spannungskreis bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-47
3.4 Hauptspannungen
Mohrscher Spannungskreis:
–
–
τ
Konstruktion aus σx , σy
und τxy :
●
τmax
P
τxy
σy
σ2
●
2φ1
M
σx
σ1
σ
●
Q
½(σ1 + σ2)
Prof. Dr. Wandinger
08.10.15
Der Punkt P hat die Koordinaten (σx , τxy ).
Der Punkt Q hat die Koordinaten (σy , -τxy ).
Der Mittelpunkt des
Kreises liegt im Schnittpunkt der Verbindungslinie der Punkte P und Q
mit der σ-Achse.
½(σ1 - σ2)
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-48
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
–
Am Mohrschen Spannungskreis kann unmittelbar abgelesen werden:
●
●
●
Die 1. Hauptspannung σ1 ist die größte Normalspannung.
Die 2. Hauptspannung σ2 ist die kleinste Normalspannung.
Ihre Richtung steht senkrecht auf der Richtung der größten
Normalspannung.
Die größte Schubspannung τmax tritt für eine Schnittrichtung
auf, die mit der ersten Hauptrichtung einen Winkel von 45°
bildet. Sie hat den Wert:
τ max =
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σ 1 −σ 2
2
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-49
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
–
Hauptrichtungen:
●
●
Die Gerade durch die
Punkte (σ2 , 0) und P
gibt die Richtung der
1. Hauptachse an.
Die Gerade durch die
Punkte (σ1 , 0) und P
gibt die Richtung der
2. Hauptachse an.
τ
2
P
2φ1
φ1
σ2
1
M
σ1
σ
Q
½(σ1 + σ2)
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
½(σ1 - σ2)
TM 2 2.3-50
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
●
Beispiel:
–
In einem Punkt eines ebenen dünnwandigen Bauteils werden die folgenden Spannungen gemessen:
σ x =−20 MPa , σ y =90 MPa , τ xy =60 MPa
–
Gesucht:
●
Hauptnormalspannungen und Hauptrichtungen
●
Größte Schubspannung und zugehörige Schnittrichtung
●
Die berechneten Ergebnisse sollen am Mohrschen Kreis
graphisch überprüft werden.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-51
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
–
Rechnerische Ermittlung:
●
●
Spannungen:
σ x +σ y
σM =
=35 MPa
2
τ max =√ 55 +60 MPa
=81,39 MPa
2
2
σ 1=35 MPa+81,39 MPa
=116,4 MPa
σ 2 =35 MPa−81,39 MPa
=−46,39 MPa
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
Richtungen:
2⋅60
−20−90
12
=− =−1,091
11
→ ϕ A=−23,74 °
tan(2 ϕ A )=
τ xy > 0
→ ϕ1 =−23,74 °+90 °
=66,26°
ϕ S =ϕ1−45 °=21,26 °
TM 2 2.3-52
08.10.15
3.4 Hauptspannungen
–
Mohrscher Spannungskreis (10 MPa = 5 mm)
τ
1
τmax
P
2
P
60
2φ1
σ2
τ
φ1
-60
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45°
90
-20
ξ
σ1
σ
σ1
σ2
Q
2. Ebene Elastizitätstheorie
σ
Q
TM 2 2.3-53
3.5 Festigkeitshypothesen
●
08.10.15
Problemstellung:
–
Für die Grundbelastungsarten kann in geeigneten Versuchen festgestellt werden, bei welcher Last das Bauteil versagt.
–
Bei einem komplexen Bauteil liegt in der Regel eine mehrachsige Beanspruchung vor, d.h. ein ebener oder ein räumlicher Spannungszustand.
–
Eine experimentelle Untersuchung aller möglichen Spannungszustände ist praktisch nicht möglich.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-54
3.5 Festigkeitshypothesen
●
08.10.15
Lösung:
–
–
Mithilfe von sogenannten Festigkeitshypothesen wird aus
den Spannungskomponenten der mehrachsigen Beanspruchung eine Vergleichsspannung σV berechnet, die mit im
einachsigen Versuch ermittelten Kennwerten verglichen
werden kann.
σ V = f (σ x ,σ y , τ xy )
●
Ebener Spannungszustand:
●
Räumlicher Spannungszustand: σ V = f (σ x ,σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ xz )
Die Festigkeitshypothesen hängen von der Art des Versagens und damit von der Art des Werkstoffs ab.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-55
3.5 Festigkeitshypothesen
●
08.10.15
Übersicht:
–
Das Versagen durch Trennbruch bei spröden Werkstoffen
kann mithilfe der Normalspannungshypothese beurteilt werden.
–
Das Versagen durch Fließen bei duktilen Werkstoffen kann
mithilfe der Schubspannungshypothese oder der Gestaltänderungshypothese beurteilt werden.
–
Bei einem räumlichen Spannungszustand ist auch bei duktilen Werkstoffen Versagen durch Trennbruch möglich.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-56
3.5 Festigkeitshypothesen
08.10.15
3.5.1 Normalspannungshypothese
3.5.2 Schubspannungshypothese
3.5.3 Gestaltänderungshypothese
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-57
08.10.15
3.5.1 Normalspannungshypothese
●
●
●
Die Normalspannungshypothese geht auf Rankine (1861)
zurück.
Sie kann bei sprödem Werkstoff- oder Bauteilverhalten
eingesetzt werden.
Annahme:
–
Versagen durch Trennbruch tritt auf, wenn die größte Normalspannung die Trennfestigkeit σT überschreitet.
–
Bei ideal spröden Werkstoffen entspricht die Trennfestigkeit
der Zugfestigkeit Rm .
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-58
3.5.1 Normalspannungshypothese
●
08.10.15
Vergleichsspannung:
–
Ist σ1 die größte Hauptspannung, dann gilt:
σ V , NH =σ1
–
Für den ebenen Spannungszustand kann die Vergleichs
spannung auch direkt aus den Spannungskomponenten berechnet werden:
σ x +σ y
σ V , NH =σ1 =
+
2
Prof. Dr. Wandinger
√(
2
σ x −σ y
+ τ 2xy
2
2. Ebene Elastizitätstheorie
)
TM 2 2.3-59
08.10.15
3.5.1 Normalspannungshypothese
●
Versagensbedingung:
–
σ V , NH ≥R m
–
σ2
Versagen durch Trennbruch tritt auf für
Rm
Versagen kann nur auftreten, wenn die größte
Normalspannung positiv
ist.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
Rm
σ1
TM 2 2.3-60
3.5.1 Normalspannungshypothese
●
08.10.15
Beispiel:
–
In einem auf Zug und Torsion beanspruchten martensitisch
gehärteten Bolzen aus 41 Cr 4 treten folgende Spannungen
auf:
σ x =450 MPa , τ xy =300 MPa
–
Die Zugfestigkeit beträgt 2000 MPa.
–
Gesucht ist die Sicherheit gegen Bruch.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-61
08.10.15
3.5.1 Normalspannungshypothese
–
Lösung:
●
●
Da es sich um einen spröden Werkstoff handelt, muss die
Normalspannungshypothese angewendet werden.
Die Vergleichsspannung berechnet sich zu
450 MPa
σ V , NH =
+
2
●
√(
450 2
2
+300 MPa=600 MPa .
2
)
Damit beträgt die Sicherheit gegen Bruch:
S B= σ
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Rm
V , NH
=
2000
=3,3
600
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-62
08.10.15
3.5.2 Schubspannungshypothese
●
●
●
Die Schubspannungshypothese geht auf Tresca (1868)
zurück.
Sie kann verwendet werden, um bei duktilen Werkstoffen
das Versagen durch Fließen oder Schubbruch zu beurteilen.
Annahme:
–
Versagen tritt auf, wenn die größte Schubspannung die
Fließschubspannung τF überschreitet.
–
Die Fließschubspannung kann aus der im Zugversuch ermittelten Streckgrenze bestimmt werden: τF = R e /2.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-63
3.5.2 Schubspannungshypothese
●
08.10.15
Vergleichsspannung:
–
Die maximale Schubspannung muss aus einem räumlichen
Spannungszustand ermittelt werden:
σ V , SH =2 τ max =max (|σ 1−σ 2| ,|σ 1−σ 3| ,|σ 2 −σ 3|)
–
Für einen ebenen Spannungszustand mit σ3 = 0 reduziert
sich die Gleichung auf
σ V , SH =max (|σ 1−σ 2| ,|σ 1| ,|σ 2|)
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-64
3.5.2 Schubspannungshypothese
●
08.10.15
Versagen:
–
Versagen durch Fließen tritt auf für σ V , SH ≥R e .
–
Beim ebenen Spannungszustand können drei Fälle auftreten:
|σ1 – σ2| > max(|σ1|, |σ2|)
3
2
1
45°
45°
45°
|σ2| > max(|σ1 – σ2|, |σ1|)
|σ1| > max(|σ1 – σ2|, |σ2|)
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-65
08.10.15
3.5.2 Schubspannungshypothese
–
In der Hauptspannungsebene wird das zulässige Gebiet
durch einen Polygonzug begrenzt:
σ2
Re
Re
Re
σ1
Re
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-66
3.5.2 Schubspannungshypothese
●
08.10.15
Beispiel:
–
In einem auf Zug und Torsion beanspruchten Bolzen aus
einem duktilen Vergütungsstahl treten folgende Spannungen auf:
σ x =450 MPa , τ xy =300 MPa
–
Die Streckgrenze beträgt 700 MPa.
–
Gesucht ist die Sicherheit gegen Fließen.
–
Da es sich um einen duktilen Werkstoff handelt, kann die
Schubspannungshypothese verwendet werden.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-67
08.10.15
3.5.2 Schubspannungshypothese
–
Hauptspannungen:
σ x +σ y 450 MPa
σ x −σ y 450 MPa
=
=225 MPa ,
=
=225 MPa
2
2
2
2
σ 1/ 2 =225 MPa± √ 2252 +300 2 MPa=225 MPa±375 MPa
→ σ 1=600 MPa , σ 2 =−150 MPa
–
Vergleichsspannung:
|σ 1−σ 2|=750 MPa
σ V , SH =max ( 750, 600,150 ) MPa=750 MPa
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-68
08.10.15
3.5.2 Schubspannungshypothese
–
Sicherheit gegen Fließen:
S F= σ
Re
V , SH
=
700
=0,93
750
–
Darstellung im Mohrschen Spannungskreis:
τ
τF = Re /2
300
B
450
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
σ
TM 2 2.3-69
3.5.2 Schubspannungshypothese
●
08.10.15
Anmerkung:
–
Wenn sich die Hauptspannungen eines räumlichen Spannungszustands nur wenig unterscheiden, ist die Vergleichsspannung klein.
–
Ist dabei eine der Hauptspannungen größer als die Trennfestigkeit, tritt Versagen durch Trennbruch auf.
–
Beim ebenen Spannungszustand kann dieser Fall wegen
σ3 = 0 nicht auftreten.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-70
3.5.3 Gestaltänderungshypothese
●
●
●
08.10.15
Die Gestaltänderungshypothese wurde von Huber (1904),
von Mises (1913) und Hencky (1924) eingeführt.
Wie die Schubspannungshypothese kann sie zur Beurteilung des Versagens durch Fließen bei duktilen Werkstoffen verwendet werden.
Annahme:
–
Fließen tritt auf, wenn die Gestaltänderungsenergie einen
bestimmten Wert überschreitet.
–
Durch Vergleich mit dem einachsigen Zugversuch lässt sich
daraus eine Vergleichsspannung ableiten, die mit der
Streckgrenze Re verglichen werden kann.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-71
08.10.15
3.5.3 Gestaltänderungshypothese
●
Vergleichsspannung:
–
Räumlicher Spannungszustand:
1
2
2
2
σ V , GH =
σ
−σ
+
σ
−σ
+
σ
−σ
( 1
( 2
( 3
2)
3)
1)
√2
1
2
2
2
2
2
2
=
σ
−σ
+
σ
−σ
+
σ
−σ
+6
τ
+
τ
+
τ
(
( x
( y
( z
y)
z)
x)
xy
yz
xz )
√2
√
√
–
Ebener Spannungszustand:
σ 3 =0 , σ z =0 , τ yz = τ xz =0
σ V , GH = √ σ 21 −σ 1 σ 2 +σ 22 = √ σ 2x −σ x σ y +σ 2y +3 τ 2xy
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-72
08.10.15
3.5.3 Gestaltänderungshypothese
●
Versagen:
–
–
Versagen durch Fließen
tritt auf für σ V , GH ≥R e .
In der Hauptspannungsebene ist die Grenzkurve
eine Ellipse, deren
Hauptachsen um 45° geneigt sind und die das Polygon der Schubspannungshypothese umschließt.
Prof. Dr. Wandinger
σ2

2
R
3 e
Re
 2 Re
Re
Re
2. Ebene Elastizitätstheorie
σ1
Re
TM 2 2.3-73
3.5.3 Gestaltänderungshypothese
●
08.10.15
Vergleich mit der Schubspannungshypothese:
–
Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese ist maximal 15 % größer als die Vergleichsspannung
nach der Gestaltänderungshypothese.
–
Die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese zeigt eine bessere Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen.
–
Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese liefert daher eine konservativere Beurteilung.
–
Die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese ist einfacher zu berechnen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-74
3.5.3 Gestaltänderungshypothese
08.10.15
–
Die Schubspannungshypothese kann einfach anschaulich
am Mohrschen Kreis dargestellt werden.
–
Die Grenzkurve für die Gestaltänderungshypothese besitzt
in jedem Punkt eine Tangente und eine Normale. Das ist
günstig für numerische Berechnungen und erlaubt die Formulierung eines Fließgesetzes.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-75
3.5.3 Gestaltänderungshypothese
●
08.10.15
Beispiel:
–
In einem auf Zug und Torsion beanspruchten Bolzen aus
einem duktilen Vergütungsstahl treten folgende Spannungen auf:
σ x =450 MPa , τ xy =300 MPa
–
Die Streckgrenze beträgt 700 MPa.
–
Gesucht ist die Sicherheit gegen Fließen.
–
Da es sich um einen duktilen Werkstoff handelt, kann die
Gestaltänderungshypothese verwendet werden.
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-76
3.5.3 Gestaltänderungshypothese
–
08.10.15
Vergleichsspannung:
σ V , GH = √ σ 2x +3 τ 2xy = √ 450 2 +3⋅300 2 MPa=687,4 MPa
–
Sicherheit gegen Fließen:
Re
700
S F= σ
=
=1,02
V , GH
687,4
Prof. Dr. Wandinger
2. Ebene Elastizitätstheorie
TM 2 2.3-77

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