2. Arbeit und Energie - Prof. Dr. Johannes Wandinger

13.08.15
2. Arbeit und Energie
●
●
●
Zur Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewegungsgleichung müssen mehr oder weniger komplizierte
Integrale berechnet werden.
Bei einer Reihe von wichtigen Anwendungen treten die
gleichen Integrale auf. Sie können unabhängig von der
konkreten Anwendung berechnet werden.
Diese Integrationen führen auf die Begriffe Arbeit und
Energie.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-1
2. Arbeit und Energie
13.08.15
2.1 Arbeitssatz
2.2 Potenzielle Energie
2.3 Energieerhaltungssatz
2.4 Massenpunktsysteme
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-2
2.1 Arbeitssatz
13.08.15
2.1.1 Herleitung
2.1.2 Berechnung der Arbeit
2.1.3 Beispiele
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-3
13.08.15
2.1.1 Herleitung
●
Integration der Bewegungsgleichung:
–
–
B
Betrachtet wird ein Massenpunkt, der sich entlang der
Bahn CAB vom Punkt A zum
Punkt B bewegt.
Dabei wirkt auf ihn die resultierende äußere Kraft F(r),
die im Allgemeinen vom Ort
abhängt.
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2. Kinetik des Massenpunktes
at
dr
P
F
an
CAB
A
TM 3 2.2-4
13.08.15
2.1.1 Herleitung
–
In jedem Punkt der Bahn
gilt das Newtonsche
Grundgesetz:
–
m a=F
–
Das Skalarprodukt mit
dem Wegelement dr lautet
m a⋅d r=F⋅d r
Die Beschleunigung hat
eine Tangentialkomponente at und eine Normalkomponente an :
a= at  an
–
Da die Normalkomponente an senkrecht auf dem
Wegelement dr steht, gilt:
a n⋅d r=0
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-5
2.1.1 Herleitung
–
–
–
13.08.15
Mit der skalaren Bahnbeschleunigung at und dem skalaren
Wegelement ds folgt: m a⋅d r=m at⋅d r=m a t ds
Mit
dv dv ds dv
dv
at = =
= v=v
dt ds dt ds
ds
folgt:
m a t ds=m v
Damit ist gezeigt:
dv
ds=m v dv
ds
m a⋅d r=m v dv= F⋅d r
vB
–
Integration ergibt:
m ∫ v dv= ∫ F  r ⋅d r
vA
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C AB
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-6
2.1.1 Herleitung
●
13.08.15
Kinetische Energie:
–
Das Integral auf der linken Seite berechnet sich zu
vB
1
m ∫ v dv= m  v 2B −v 2A 
2
v
A
–
Die Größe
1
E = m v2
2
K
wird als kinetische Energie des Massenpunktes bezeichnet.
–
Damit gilt:
vB
m ∫ v dv= E KB −E KA
vA
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-7
2.1.1 Herleitung
●
13.08.15
Arbeit der äußeren Kräfte:
–
Das Integral auf der rechten Seite wird als Arbeit der äußeren Kräfte bezeichnet:
W AB= ∫ F  r ⋅d r
C AB
–
WAB ist die Arbeit, die die äußere Kraft F verrichtet, wenn
der Massenpunkt entlang der Bahn CAB von Punkt A an den
Punkt B verschoben wird.
–
Der Wert der Arbeit hängt im Allgemeinen nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt, sondern auch von der Bahn ab.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-8
2.1.1 Herleitung
●
13.08.15
Arbeitssatz:
K
B
K
A
E − E =W AB
–
Die Differenz zwischen der kinetischen Energie EKB des
Massenpunktes im Punkt B und der kinetischen Energie EKA
im Punkt A ist gleich der von den angreifenden Kräften auf
dem Weg von Punkt A nach Punkt B verrichteten Arbeit
WAB .
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-9
2.1.1 Herleitung
●
13.08.15
Einheiten:
–
Die Einheit der Arbeit ist
kg m 2
1 Nm=1 2 =1 J (Joule)
s
–
Die kinetische Energie hat die gleiche Einheit wie die Arbeit.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-10
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
●
Kraft konstanter Größe parallel zum Weg:
–
et
Mit F = F e t und d r=e t ds gilt:
F
sB
P
W AB= ∫ F⋅d r=∫ F e t⋅e t ds=F  s B −s A 
C AB
●
sA
Kraft konstanter Größe schräg zum Weg:
–
A
sA
φ
et
sB
P
W AB= ∫ F⋅d r=∫ F⋅e t ds=F cos (ϕ) ( s B −s A )
sA
A
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B
sB
F
Mit d r=e t ds und F⋅e t = F cos (ϕ) gilt:
C AB
B
sB
2. Kinetik des Massenpunktes
sA
TM 3 2.2-11
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
●
Kraft veränderlicher Größe
parallel zum Weg:
–
et
Mit F s =F s  e t und d r=e t ds
gilt:
s
F(s)
B
W AB= ∫ F⋅d r=∫ F s  e t⋅e t ds
C AB
sB
sA
=∫ F s  ds
sA
A
Wird die Kraft F über dem Weg s aufgetragen, so entspricht die
Arbeit der Fläche unter der
Kurve.
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P
F
sA
–
B
sB
2. Kinetik des Massenpunktes
WAB
sA
sB
s
TM 3 2.2-12
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
●
Reibungsarbeit:
z
y
–
Ein Massenpunkt der
Masse m bewegt sich auf
einer rauen Oberfläche
von A nach B.
–
Dabei wirkt auf ihn die
Reibungskraft
R
A
R= N
N
CAB
parallel zum Weg.
B
–
x
Prof. Dr. Wandinger
Sie verrichtet die Arbeit
W RAB=− N  s B −s A 
=− N L AB
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-13
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
–
Die Reibungsarbeit hängt vom Weg ab, auf dem der Massenpunkt von A nach B gebracht wird:
●
●
●
Die Länge LAB ist wegabhängig.
Der Reibungskoeffizient
kann unterschiedlich
sein.
z
y
Die Normalkraft N kann
unterschiedlich sein.
C1
A
W
R
AB 1
≠W
R
AB 2
B
C2
x
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-14
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
●
Federarbeit:
s0 sA
s
sB
FF
–
Ein Massenpunkt, der von einer Feder gehalten wird, bewegt sich von der Stelle sA an die Stelle sB .
–
Dabei greift an ihm die Federkraft F F (s )=c ( s−s 0 ) an.
–
Die Federkraft verrichtet die Arbeit
sB
1
2
2
W =−∫ c  s−s 0  ds=− c  s B −s 0  −  s A−s 0 
2
s
F
AB
[
]
A
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-15
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
●
Hubarbeit:
–
–
Ein Massenpunkt der
Masse m bewegt sich entlang der Bahn CAB vom
Punkt A an den Punkt B.
z
B
g
CAB
Dabei wirkt auf ihn die
Gewichtskraft
dr
G=−m g e z
A
y
G
x
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-16
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
–
Für das Streckenelement gilt: d r=e x dxe y dye z dz
–
Damit berechnet sich die von der Gewichtskraft verrichtete
Arbeit zu
W GAB= ∫ G⋅d r= ∫ −m g e z ⋅ e x dxe y dye z dz 
C AB
zB
C AB
=−∫ m g dz=−m g  z B −z A 
zA
–
Die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit wird als Hubarbeit bezeichnet.
–
Sie hängt nur von der Höhendifferenz ab.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-17
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
●
Beispiel:
–
–
Die Masse m wird auf der
schiefen Ebene reibungsfrei vom Punkt A an den
Punkt B verschoben.
Dabei greifen an ihr die
folgenden Kräfte an:
●
Gewichtskraft G
●
Horizontalkraft H
●
B
z
m
g
Federkraft: F F =c s
 s 0=0 
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H
2. Kinetik des Massenpunktes
A
α
TM 3 2.2-18
2.1.2 Berechnung der Arbeit
13.08.15
–
Zu berechnen ist die gesamte Arbeit aller Kräfte, die an der
Masse angreifen.
–
Zahlenwerte:
●
Masse m = 10 kg
●
Weg sA = 0,5 m
●
Weg sB = 2,5 m
●
Federkonstante c = 30 N/m
●
Horizontalkraft H = 400 N
●
Winkel α = 30°
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-19
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
–
Kräfte an der freigeschnittenen Masse:
Federkraft FF
●
Normalkraft N
●
Gewichtskraft mg
●
–
s
●
Horizontalkraft H
Horizontalkraft H :
α
H
N
α
mg
FF
W HAB=H cos (α) ( s B −s A ) =400 N⋅cos (30 ° )⋅2 m=692,8 J
–
Normalkraft N :
●
Die Normalkraft N steht senkrecht auf der Bahn und verrichtet
daher keine Arbeit.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-20
13.08.15
2.1.2 Berechnung der Arbeit
–
Federkraft FF :
1
W =− c ( s 2B −s 2A )=−15 N/ m ( 2,52 m 2−0,52 m 2 ) =−90 J
2
F
AB
–
Gewichtskraft G :
W GAB=−mg ( z B −z A )=−mg ( s B −s A) sin (α)
m
=−10 kg⋅9,81 2 ⋅2 m⋅(sin 30 °)=−98,1 J
s
–
Gesamte Arbeit:
Prof. Dr. Wandinger
W AB=W HAB +W FAB +W GAB =504,7 J
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-21
13.08.15
2.1.3 Beispiele
●
Beispiel 1: Bremsendes
Fahrzeug
–
–
–
–
Zahlenwerte:
●
Ein Fahrzeug fährt mit
konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter.
Der Fahrer tritt heftig auf
die Bremse, so dass das
Fahrzeug mit blockierten
Rädern rutscht.
Wie weit rutscht das
Fahrzeug?
Prof. Dr. Wandinger
●
●
●
Fahrzeuggewicht
G = 17,5 kN
Geschwindigkeit
v = 6 m/s
Neigungswinkel α = 10°
Reibungskoeffizient
μ = 0,5
v
z
B
2. Kinetik des Massenpunktes
α
A
g
zA - zB
TM 3 2.2-22
13.08.15
2.1.3 Beispiele
–
Kräfte am freigeschnittenen Fahrzeug:
∑ F n =0
α
: N −G cos (α)=0
→ N =G cos (α)
R= N = G cos 
–
n
Von der Gewichtskraft verrichtete
Arbeit:
z A−z B =s AB sin 
G
s
R
N
G
W AB=−G  z B −z A  =G  z A−z B  =G s AB sin 
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-23
2.1.3 Beispiele
–
–
–
–
–
13.08.15
Von der Reibungskraft verrichtete Arbeit:
W RAB=−R s AB=− G cos  s AB
1G 2
K
E A=
v , E KB =0
Kinetische Energien:
2 g
E KB −E KA =W GAB W RAB
Arbeitssatz:
1G 2
−
v =G sin  s AB − G cos  s AB =G s AB  sin − cos  
2 g
v2
1
s AB =
Ergebnis:
2 g  cos −sin 
6 2 m 2 /s 2
1
=5,76 m
Zahlenwert: s AB =
2
2⋅9,81 m/s 0,5 cos (10 ° )−sin (10 °)
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-24
13.08.15
2.1.3 Beispiele
●
Beispiel 2: Achterbahn
–
s
g
Gegeben:
●
Masse m des Wagens
●
Radius R
●
φ
R
B
A
ψ
R
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–
Anfangsgeschwindigkeit
v(s=0) = v0
Gesucht:
●
Geschwindigkeit v(s) ●
Beschleunigung a(s)
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-25
13.08.15
2.1.3 Beispiele
–
Wagen freigeschnitten:
●
●
●
Nur die Gewichtskraft
mg verrichtet Arbeit.
r
Die Normalkraft N steht
immer senkrecht auf der
Bahn.
N
φ
Allgemein gilt:
Führungskräfte
Führungskräfteverrichten
verrichten
keine
keineArbeit.
Arbeit.
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φ
mg
s
A
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-26
13.08.15
2.1.3 Beispiele
Geometrie:
–
z
–
s
C
Kreis um A:
s=R ϕ
D
z(s)
z (ϕ)=R cos (ϕ)
φ
R
B
A
R
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
s
z s =R cos
R
φ im Bogenmaß!
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-27
13.08.15
2.1.3 Beispiele
–
z
s
C
Kreis um B:
s=R π + R ψ
2
z (ψ)=−R sin (ψ)
φ
R
ψ
R
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( )
( )
B
A
z(s)
s π
−
R 2
s
=R cos
R
z (s)=−R sin
ψ im Bogenmaß!
D
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-28
13.08.15
2.1.3 Beispiele
–
Von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit:
  
s
W =−mg  z s −z 0  =−mg R cos
−1
R
G
CD
1
1
E CK = m v 20 , E KD = m v 2 s 
2
2
–
Kinetische Energien:
–
Arbeitssatz: E KD −E CK =W GCD
  
1
s
2
2
m  v s −v 0 =−mg R cos
−1
2
R
√
(
( ))
s
→ v (s )= v +2 gR 1−cos
R
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2
0
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-29
2.1.3 Beispiele
–
13.08.15
Beschleunigung:
●
Bahnbeschleunigung:
2
dv 1 dv
s
a t (s )=v =
=g sin
ds 2 ds
R
●
()
Bei einer Kreisbewegung gilt für die Normalbeschleunigung:
2
a n ( s)=
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2
v0
( ( ))
v
s
= +2 g 1−cos
R R
R
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-30
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
●
Gewichtskraft:
–
Die Arbeit der Gewichtskraft ist unabhängig von
der Bahnkurve. Sie hängt
nur vom Anfangs- und
Endpunkt der Bahn ab:
z
B
g
CAB
dr
G
AB
W =−G  z B −z A 
A
y
G
x
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-31
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
●
Federkraft:
–
Die Arbeit, die die Federkraft verrichtet, hängt nur von der
Dehnung oder Stauchung der Feder ab, unabhängig davon,
wie die Kraft aufgebracht wurde.
–
Für s0 = 0 gilt:
s
1
W =− c  s 2B −s 2A 
2
F
AB
sA
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
FF
sB
TM 3 2.2-32
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
●
Reibungskraft:
–
Die Arbeit, die die Reibungskraft verrichtet, hängt von der
z
Bahnkurve ab:
y
∫ R⋅d r=− 1 N L1
C1
∫ R⋅d r=− 2 N L 2
C1
A
B
C2
C2
x
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-33
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
●
Konservative Kräfte:
–
Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt,
aber unabhängig von der Bahnkurve ist.
–
Die Gewichtskraft und die Federkraft sind konservative
Kräfte.
C2
W AB=∫ F⋅d r=∫ F⋅d r
C1
C2
A
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
B
C1
TM 3 2.2-34
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
–
Arbeit einer konservativen Kraft entlang eines geschlossenen Weges:
C
A
B
A
∫ F⋅d r=W AA=0
C
W AB +W BA =0 → W BA =−W AB
„Arbeit bleibt erhalten“
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-35
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
●
Dissipative Kräfte:
–
Eine Kraft heißt dissipativ, wenn die Arbeit, die sie an einem
Massenpunkt verrichtet, nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt,
sondern auch von der Bahnkurve.
–
Reibungskräfte sind dissipative Kräfte.
C2
∫ F⋅d r≠∫ F⋅d r
C1
C2
A
Prof. Dr. Wandinger
B
2. Kinetik des Massenpunktes
C1
TM 3 2.2-36
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
●
Potenzielle Energie:
–
Die potenzielle Energie einer konservativen Kraft im Punkt
A ist die Arbeit, die die konservative Kraft an dem Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Punkt A in den Bezugspunkt
R verschoben wird.
–
Die potenzielle Energie hängt vom gewählten Bezugspunkt
ab.
E P  A, R =W AR=∫ F⋅d r=∫ F⋅d r
C1
C2
C2
R
Prof. Dr. Wandinger
A
2. Kinetik des Massenpunktes
C1
TM 3 2.2-37
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
–
Wird der Massenpunkt vom Ort A an den Ort B verschoben,
so lässt sich die von einer konservativen Kraft verrichtete
Arbeit WAB aus der Differenz der potenziellen Energien berechnen:
B
W AB=W AR +W RB =W AR−W BR
=E P ( A , R)−E P (B , R)
=W AR' +W R ' B =W AR' −W BR '
=E P ( A , R ' )−E P (B , R ' )
=E PA−E PB
CRB
CRB'
CAR'
A
R'
R
Prof. Dr. Wandinger
CAB
2. Kinetik des Massenpunktes
CAR
TM 3 2.2-38
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
●
Potenzielle Energie der Gewichtskraft:
–
Für die potenzielle Energie der Gewichtskraft gilt:
E G  A , R=W GAR=−m g  z R −z A  =m g  z A−z R 
–
Die potenzielle Energie der Gewichtskraft hängt nur von der
Höhe des Massenpunktes ab. Sie wird daher auch als potenzielle Energie der Lage oder Lageenergie bezeichnet.
–
Die Lageenergie ist negativ, wenn sich der Massenpunkt
unterhalb des Bezugspunktes befindet.
–
Wird als Bezugspunkt der Koordinatenursprung gewählt, so
gilt:
E G  A ,O =m g z A
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-39
2.2 Potenzielle Energie
13.08.15
–
Alle Körper gleicher Masse, die sich in der gleichen Höhe
befinden, haben die gleiche Lageenergie.
–
Daher sind alle Bezugspunkte, die auf der gleichen Höhe
liegen, gleichwertig. Sie definieren ein Nullniveau.
–
In der Nähe der Erdoberfläche sind die Nullniveaus Ebenen
parallel zur Erdoberfläche.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-40
13.08.15
2.2 Potenzielle Energie
●
Potenzielle Energie der Federkraft:
–
Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft
wird der Zustand der entspannten Feder gewählt.
–
Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft:
1 2
E s = c s
2
F
–
–
Die potenzielle Energie der
Federkraft ist immer positiv.
Sie wird als Federenergie
bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
s
C
F
TM 3 2.2-41
2.3 Energieerhaltungssatz
●
13.08.15
Arbeitssatz:
E KB −E KA =W AB
–
Der Arbeitssatz lautet:
–
Die Arbeit WAB setzt sich zusammen
●
●
–
K
P
P
aus der Arbeit W AB =E A−E B der konservativen Kräfte, und
D
der Arbeit W AB der dissipativen Kräfte.
Einsetzen in den Arbeitssatz ergibt:
E KB −E KA =E PA−E PB W DAB
K
P
K
P
D
E
E
−
E

E
=W
 B B   A A  AB
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-42
2.3 Energieerhaltungssatz
●
13.08.15
–
Die Änderung der Summe aus kinetischer und potenzieller
Energie eines Massenpunktes ist gleich der Arbeit der an
ihm angreifenden dissipativen Kräfte.
–
Die Arbeit der dissipativen Kräfte ist immer negativ.
Energieerhaltungssatz:
–
Wenn an einem Massenpunkt nur konservative Kräfte angreifen, dann bleibt die Summe der kinetischen und der potenziellen Energie konstant:
E KB E PB =E KA E PA
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-43
13.08.15
2.3 Energieerhaltungssatz
●
Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug
–
Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine
geneigte Straße hinunter.
–
Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht.
–
Wie weit rutscht das Fahrzeug?
v
z
B
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
α
A
g
zA - zB
TM 3 2.2-44
13.08.15
2.3 Energieerhaltungssatz
–
Reibungsarbeit:
●
n
Reibungskraft:
α
∑ F n =0 : N −G cos =0
→ N =G cos (α)
G
s
R= N = G cos 
●
Reibungsarbeit:
R
N
R
W AB=−R s AB=− G cos  s AB
–
Bezugspunkt für die Lageenergie:
●
Ort bei Bremsbeginn
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-45
13.08.15
2.3 Energieerhaltungssatz
–
Punkt A: Bremsbeginn
●
●
Kinetische Energie:
1G 2
K
E A=
v
2 g
Lageenergie:
–
Punkt B: Bremsende
●
Kinetische Energie:
K
E B =0
●
Lageenergie:
G
G
E A =0
–
Arbeitssatz:
E B =−G s AB sin 
K
G
K
G
R
E
E
−
E
E
=W
 B B   A A  AB
1G 2
−G s AB sin −
v =− G s AB cos 
2 g
2
2
1v
v
1
→ s AB ( μ cos (α)−sin (α) ) =
→ s AB =
2 g
2 g μ cos (α)−sin (α)
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-46
2.3 Energieerhaltungssatz
●
13.08.15
Beispiel 2: Achterbahn
z
–
s
C
Gegeben:
●
Masse m des Wagens
●
Radius R
D
z(s)
●
φ
R
B
A
–
Anfangsgeschwindigkeit
v(s=0) = v0
Gesucht:
●
Geschwindigkeit v(s) R
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-47
13.08.15
2.3 Energieerhaltungssatz
–
Nur die Gewichtskraft verrichtet Arbeit.
–
Da die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist, gilt der
Energieerhaltungssatz.
–
Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird Punkt A gewählt.
–
Energien:
Kinetische Energie
Punkt C
Punkt D
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1
K
2
E C = m v0
2
1
K
2
E D = m v s 
2
2. Kinetik des Massenpunktes
Lageenergie
E GC =m g R
G
E D =m g z s 
TM 3 2.2-48
2.3 Energieerhaltungssatz
13.08.15

s
z s =R cos
R
–
Geometrie:
–
Energieerhaltungssatz:
E KD E GD =E CK  E GC

1
s
1
2
m v s m g R cos
= m v 20 m g R
2
R 2
√
( ( ))
s
→ v( s)= v +2 g R 1−cos
R
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2
0
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-49
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
●
Arbeitssatz für einen Massenpunkt:
–
Für jeden einzelnen Massenpunkt mit Index i gilt der Arbeitssatz
E KBi −E KAi =W ABi
–
Für die kinetische Energie des Massenpunktes gilt:
1
1
2
K
E = mi v Ai , E Bi = m i v 2Bi
2
2
K
Ai
–
WABi ist die von den am Massenpunkt angreifenden äußeren
und inneren Kräften verrichtete Arbeit:
X
I
W ABi =W ABi
W ABi
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-50
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
–
 X
Für die Arbeit der äußeren Kräfte gilt: W ABI =∫ F i⋅d r
Ci
–
Für die Arbeit der inneren Kräfte gilt:
W ABi =∫
I 
Ci
–
F ij ⋅d r
∑
 
j
Die Summe erstreckt sich über alle inneren Kräfte Fij , die
am Massenpunkt mit Index i angreifen.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-51
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
●
Arbeitssatz für das Massenpunktsystem:
–
Summation über die einzelnen Massenpunkte ergibt:
∑  E KBi −E KAi  =∑ W ABiX  ∑ W ABiI 
i
–
–
–
i
i
Kinetische Energie des Massenpunktsystems:
1
K
K
E =∑ E i =∑ mi v 2i
i
i 2
Arbeit der äußeren Kräfte:
X
X
W AB
=∑ W ABi
Arbeit der inneren Kräfte:
W AB=∑ W ABi =∑ ∫
i
I 
I 
i
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
i
Ci
F ij ⋅d r
∑
 
j
TM 3 2.2-52
2.4 Massenpunktsysteme
–
13.08.15
Damit lautet der Arbeitssatz für das Massenpunktsystem:
X
I
E KB −E KA =W AB
W AB
–
Der Weg Ci , den der Massenpunkt i beschreibt, stimmt im
Allgemeinen nicht mit dem Weg Cj überein, den der Massenpunkt j beschreibt.
–
Daher ist trotz Fij + Fji = 0 die von den inneren Kräften verrichtete Arbeit im Allgemeinen nicht null.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-53
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
●
Starre Bindung:
–
–
Liegt zwischen zwei Massenpunkten eine starre Bindung
vor, so beschreiben sie bei einer Translation den gleichen
Weg.
Für die Arbeit der inneren Kräfte folgt daraus:
I
W AB
=∫  F 12 F 21 ⋅d r=0
m2
C
F21
A
F12
dr
dr
B
C
m1
C
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-54
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
–
–
Bei einer Rotation steht das Wegelement dr senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden Massenpunkte.
dr2
F21
Wegen F 12⋅d r 1 =0, F 21⋅d r 2 =0
gilt also ebenfalls:
–
m2
I
W AB
=0
Ergebnis:
dr1
F12
m1
Bei
Beieinem
einemMassenpunktsystem
Massenpunktsystemmit
mitstarren
starrenBindungen
Bindungen
verrichten
verrichtendie
dieinneren
innerenKräfte
Kräftekeine
keineArbeit.
Arbeit.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-55
2.4 Massenpunktsysteme
13.08.15
–
Für Systeme mit starren Bindungen vereinfacht sich der Arbeitssatz zu
X
E KB −E KA =W AB
–
Wenn die äußeren Kräfte konservativ sind, dann kann die
von ihnen verrichtete Arbeit aus der Differenz der potenziellen Energien berechnet werden:
X
W AB
=E PA−E PB =∑  E PAi −E PB i 
i
–
Dann folgt aus dem Arbeitssatz der Energieerhaltungssatz:
E KB E PB =E KA E PA
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-56
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
–
●
Dabei kann für jeden Massenpunkt ein eigenes Nullniveau
gewählt werden.
Beispiel: Flaschenzug
–
Aufgabenstellung:
●
●
Die beiden Massen m1 und m2 sind
durch ein masseloses dehnstarres
Seil verbunden, das über masselose
Rollen läuft.
Wie groß sind die Beschleunigungen,
wenn das System aus der Ruhe
losgelassen wird?
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
g
m2
m1
TM 3 2.2-57
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
–
Wahl der Freiheitsgrade:
●
Die Lagekoordinaten s1 und s2 der
beiden Massen werden ab der Ausgangslage nach unten gemessen.
–
Kinematische Bindung:
–
2 s 1 + s 2 =0 → s˙ 2 =−2 s˙ 1
Innere Kräfte:
m2
●
●
Da eine starre Bindung vorliegt, verrichten die inneren Kräfte keine Arbeit.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
m1
s2
s1
TM 3 2.2-58
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
–
Äußere Kräfte:
●
●
●
Als äußere Kraft wirkt die Gewichtskraft. Sie ist eine konservative Kraft.
Das Nullniveau der Lageenergie wird jeweils in die Ausgangslage der Massen gelegt.
Der Ausgangszustand wird als Zustand A und der ausgelenkte Zustand als Zustand B bezeichnet. Dann gilt für die Lageenergien:
Masse 1
Zustand A
E GA1=0
Zustand B
E B 1=−m1 g s 1
Prof. Dr. Wandinger
G
2. Kinetik des Massenpunktes
Masse 2
G
E A2 =0
E GB 2 =−m 2 g s 2
TM 3 2.2-59
13.08.15
2.4 Massenpunktsysteme
–
Kinetische Energie:
●
●
–
Da das System am Anfang in Ruhe ist, gilt:
Für die kinetische Energie im ausgelenkten Zustand gilt:
1
1
K
2
2
E B = m 1 s˙1  m2 s˙2
2
2
Energieerhaltungssatz:
●
K
E A =0
1
1
2
2
m1 s˙ 1  m 2 s˙ 2 −m1 g s 1−m 2 g s 2 =0
2
2
Mit der kinematischen Bindung folgt daraus:
1
2
2
m1 s˙ 1 2 m 2 s˙ 1 −m1 g s 12 m 2 g s 1 =0
2
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-60
2.4 Massenpunktsysteme
–
13.08.15
Geschwindigkeit:
●
Mit s˙1 =vs 1  folgt aus dem Energieerhaltungssatz:

m1−2 m 2
v1 s 1 =± 2
g s1
m1 4 m 2
●
●
Für m1 > 2m2 muss s1 positiv sein. Die Masse m1 bewegt sich
nach unten. Es ist das positive Vorzeichen der Wurzel zu
nehmen.
Für m1 < 2m2 muss s1 negativ sein. Die Masse m1 bewegt sich
nach oben. Es ist das negative Vorzeichen der Wurzel zu
nehmen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-61
2.4 Massenpunktsysteme
–
13.08.15
Beschleunigungen:
●
Die Geschwindigkeit v1 ist als Funktion des Weges s1 bekannt.
●
Daraus berechnet sich die Beschleunigung a1 zu
2
●
1 dv 1 m1 −2 m2
a1 =
=
g
2 ds 1 m14 m2
Aus der kinematischen Bindung folgt:
a 2 =−2 a 1=−2
Prof. Dr. Wandinger
m1−2 m 2
m14 m2
g
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-62
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
●
13.08.15
Leistung:
–
Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit:
P=
–
–
dW
dt
J
Nm
=1 W (Watt)
Die Einheit der Leistung ist 1 =1
s
s
dW F⋅d r
dr
=
=F⋅
Aus der Definition der Arbeit folgt: P=
dt
dt
dt
P= F⋅v
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-63
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
●
13.08.15
Wirkungsgrad:
–
Der mechanische Wirkungsgrad η einer Maschine ist definiert als das Verhältnis der abgegebenen Nutzleistung PN
zur aufgewendeten Leistung PA :
PN
=
PA
–
Wegen der stets auftretenden Verluste ist η < 1.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-64
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
●
13.08.15
Beispiel:
–
Ein PKW fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit v von
60 km/h auf ebener Straße.
–
Die Motorleistung PA beträgt 30 kW.
–
Der Wirkungsgrad η hat einen Wert von 0,8.
–
Wie groß ist die Antriebskraft F?
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-65
2.5 Leistung und Wirkungsgrad
–
–
–
Für die Nutzleistung gilt:
P N =F v
Daraus folgt:
PA
Fv
=
 
=F
PA
v
Zahlenwert:
Prof. Dr. Wandinger
13.08.15
0,8⋅30⋅103 Nm /s
F=
=1,44 kN
60/3,6 m /s
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.2-66

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