3. Torsion offener Profile - Prof. Dr.

10.03.16
3. Torsion offener Profile
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●
●
Dünnwandige offene Profile werden hauptsächlich für
Balken verwendet, die überwiegend auf Biegung beansprucht werden.
Wenn die Wirkungslinie der äußeren Last nicht durch den
Schubmittelpunkt geht, tritt auch eine Torsionsbelastung
auf.
Im Folgenden wird wieder vorausgesetzt, dass sich die
Querschnitte frei verwölben können (Saint-Venantsche
Torsionstheorie).
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.3-1
10.03.16
3. Torsion offener Profile
●
Dünnwandige Rechteckprofile:
–
t
Annahmen:
●
●
Die Schubspannung τsx verläuft parallel
zur Langseite und ist über die Länge konstant. Die Umlenkung am oberen und unteren Rand erfolgt in einem schmalen Bereich.
Die Schubspannung hat über die Wandstärke einen linearen Verlauf:
τ sx ( y)=τ max
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y
y
=2 τ max
t /2
t
5. Dünnwandige Profile
y
L
τmax
z
TM 2 5.3-2
10.03.16
3. Torsion offener Profile
–
Modellvorstellung:
●
●
Der Querschnitt ist aus infinitesimalen
rechteckigen Kastenprofilen der
Wandstärke dy zusammengesetzt, für
die die Bredtschen Formeln gelten.
Für ein infinitesimales Kastenprofil gilt:
A m ≈2 L y ,
●
y
≈L
y
ds 2 L
∮ dy ≈ dy
dy
Der Beitrag zum Torsionsmoment ist:
dM x =2 A m q sx ≈2⋅2 L y τ sx dy
y
L
=4 L y⋅2 τ max dy=8 τ max y 2 dy
t
t
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5. Dünnwandige Profile
z
TM 2 5.3-3
10.03.16
3.Torsion offener Profile
●
Der Beitrag zum Torsionsträgheitsmoment berechnet sich zu
D
4 A2m
2 2 dy
2
dI T =
≈4⋅4 L y ⋅ =8 L y dy
ds
2L
∮ dy
●
Integration über alle infinitesimalen Profile ergibt:
t /2
t/2
L
1
1 3
2
2
2
M x =8 τ max ∫ y dy = τ max L t , I T =8 L ∫ y dy= L t
t 0
3
3
0
●
Daraus folgt für die Schubspannung:
3Mx
Mx
1 2
τ max = 2 =
mit W T = L t
WT
3
Lt
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TM 2 5.3-4
10.03.16
3. Torsion offener Profile
–
Ergebnis:
●
1
1
I T= L t3 , W T= L t2
3
3
–
Die Formeln gelten näherungsweise auch für
Profile mit gekrümmter
Mittellinie. Dabei ist L
die entlang der Mittellinie gemessene Bogenlänge.
Anmerkungen:
●
Bei veränderlicher
Wandstärke muss integriert werden:
t
L
L
1 3
I T = ∫ t ds
30
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.3-5
10.03.16
3. Torsion offener Profile
●
Beispiel: Offener Kreisring
–
Für den offenen Kreisring gilt:
2
2
3
O
I = π R t , WT= π R t2
3
3
O
T
τ
O
max
=
Mx
W
O
T
=
R
y
3Mx
2πRt
t
2
z
MxL
3
θ =
=
G 2 π R t3
G I OT
O
MxL
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TM 2 5.3-6
10.03.16
3. Torsion offener Profile
–
Bei gleichen Abmessungen gilt für den geschlossenen
Kreisring:
Mx
Mx
G
3
G
G
2
I T =2 π R t , τ max =
=
→
W
=2
π
R
t
T
2
G
2πR t WT
MxL 1
θ =
=
G
3
G
G IT
2πR t
G
–
MxL
Für das Verhältnis der Größen folgt:
τ Gmax
2 π R t 2 1 t θG 2 π R t 3 1 t
=
=
, O=
=
O
2
3
τ max 6 π R t 3 R θ
6πR t 3 R
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2
( )
5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.3-7
3. Torsion offener Profile
–
●
10.03.16
Für t/R = 1/10 ist die Schubspannung beim geschlossenen
Kreisring 30-mal und die Verdrehung 300-mal kleiner als
beim offenen Kreisring.
Zusammengesetzte Profile:
–
–
Bei zusammengesetzten offenen Profilen können die einzelnen Torsionsträgheitsmomente näherungsweise addiert
werden:
1
I T ≈ ∑ L i t 3i
3
Die größte Schubspannung tritt in dem Segment mit der
größten Wandstärke auf. Für das Torsionswiderstandsmoment gilt näherungsweise:
IT
W T≈
t max
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.3-8
10.03.16
3. Torsion offener Profile
–
Genauere Ergebnisse ergeben sich mit einem von A. Föppl
experimentell ermittelten Korrekturfaktor η:
η
I T = ∑ L i t 3i
3
η
1,00
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0,99
1,12
1,12
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1,12
1,30
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10.03.16
3. Torsion offener Profile
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Beispiel: L-Profil
–
L 50 x 40 x 5 DIN 1029:
●
–
Torsionsträgheitsmoment:
0,99 3
I T=
t ( a+b )
3
=0,33⋅53 mm 3⋅90 mm=3713 mm 4
–
ez
a = 50 mm, b = 40 mm, t = 5 mm
b
a
y
ey
Torsionswiderstandsmoment:
I T 3713 mm
WT= =
=742,5 mm 3
t
5 mm
4
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5. Dünnwandige Profile
z
t
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3. Torsion offener Profile
●
10.03.16
Wölbfreie Profile:
–
Bei Querschnitten, die aus dünnwandigen Rechtecken zusammengesetzt sind, tritt keine Verwölbung auf, wenn sich
die Mittellinien in einem Punkt schneiden.
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5. Dünnwandige Profile
TM 2 5.3-11

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