Lambacher Schweizer Hessen 8 G8 Schülerbuch Seite S222-223

2 Basiswissen aus den vorigen Jahrgängen
Zahlen und Operationen
Bruch, Dezimalbruch, Prozent
Anteile vom Ganzen kann man als Bruch, als Dezimalbruch oder
in Prozent angeben.
3
3 % bedeutet: drei von Hundert oder _
 100   . 
Bei einem Bruch heißt die Zahl über dem Bruchstrich Zähler,
die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner.
Erweitern und Kürzen
Ein Bruch wird erweitert, indem man den Zähler und den Nenner
mit derselben Zahl multipliziert. Dabei wird die Einteilung des
Ganzen verfeinert.
Das Ganze wurde in zehn gleiche Teile
4
geteilt. Der gefärbte Anteil ist _
 10   oder
40
_
0,4 oder   100   = 40 %.
8
Bei dem Bruch _
 12  ist 8 der Zähler und 12
der Nenner.
8
 _
12  mit
8
24
3 erweitert ergibt  _
36  .
8 · 3
24
_
_
 _
12   =   12 · 3   =   36 
8
Ein Bruch wird gekürzt, indem man den Zähler und den Nenner
durch dieselbe Zahl dividiert. Dabei wird die Einteilung des Ganzen vergröbert.
2
_
 _
12  mit 4 gekürzt ergibt  3  .
8
8 : 4
2
_
_
 _
12   =   12 : 4   =   3 
Erweitern und Kürzen verändert den Wert eines Bruches nicht.
Gleichwertige Brüche befinden sich am Zahlenstrahl an
derselben Stelle.
Dezimalbrüche
Dezimalbrüche mit einer, zwei, drei … Stellen nach dem Komma
sind eine andere Schreibweise für Brüche mit dem Nenner 10, 100,
1000 …
391
106
3
0,3 = _
 10   ; 1,06 =  _
  ; 0,391 =  _
100 
1000   
3
75
_
  4  =  _
100   =
35
7
0,75;  _
    =  _
200
1000   = 0,035
Addieren bzw. Subtrahieren von Brüchen
1. Man bringt die Brüche auf gleiche Nenner.
2. Man schreibt die Brüche auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
3. Man addiert bzw. subtrahiert die Zähler.
 _3  + _  4  = _
  12   + _
  12   = _
  12 
Addieren bzw. Subtrahieren von Dezimalbrüchen
Man addiert oder subtrahiert Dezimalbrüche, indem man sie so
untereinanderschreibt, dass Komma unter Komma steht. Dann
addiert bzw. subtrahiert man stellenweise.
23,Å26
+0,0å5
6,00
–0,0å
1
3
4
5
8
1
4
5
8
9
13
3
8
2
8
_
    – _    = _    – _    = _   
Å Å
Brüche multiplizieren
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler
und Nenner mit Nenner multipliziert. Rechtzeitiges Kürzen vereinfacht oft die Rechnung.
16
5
Å Å
5,93
23,20Å
5 · 16
10
5 · 2
_
_   
=  _
  =  _
 _
51 
24    ·   17  =   24 · 17 
3 · 17 
2
5
2 · 5
10
3
4
3
4 · 3
12
å 5
å
18
2
 _3  · 5 =  _3  ·  _1  =  _
 =  _
3   
3  
4 ·  _å  =  _1  ·  _å  =  _
 =  _
7   
7  
Durch einen Bruch dividieren
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem
Kehrbruch multipliziert.
7 · 18
7 · 2
14
_ _
_ = _
  1 · 5 
  =  _
 _9  :  _
5  
18   =   9  ·   5   =   9 · 5  
5
3
_
    : 7
3
5 å
5
Å
5 · 1
5
5 3
5
4
5 · 4
20
=  _3  :  _Å  =  _3  ·  _å  = _
 3 · 7   =  _
21  
5 :  _4  =  _Å  :  _4  =  _1  ·  _3  =  _
 =  _
3   
3  
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Anhang
Dezimalbrüche multiplizieren
Man multipliziert zunächst, ohne die Kommas zu beachten.
Dann setzt man das Komma so, dass das Ergebnis genauso viele
Stellen nach dem Komma hat wie beide Faktoren zusammen.
Durch Dezimalbrüche dividieren
Man verschiebt das Komma der beiden Zahlen um gleich viele
Stellen so weit nach rechts, bis die Zahl, durch die geteilt wird,
eine natürliche Zahl ist. Dann dividiert man und setzt beim Überschreiten des Kommas auch im Ergebnis ein Komma.
Anordnung – Betrag – Gegenzahl
Von zwei rationalen Zahlen ist diejenige größer, die auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt.
Der Betrag einer rationalen Zahl ist ihr Abstand von null.
Die Gegenzahl einer rationalen Zahl erhält man durch „Spiegeln an
der Null“. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben den gleichen Betrag.
Addieren zweier rationaler Zahlen
Vorzeichen gleich: Addiere die Beträge der Summanden.
Das Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen.
Vorzeichen verschieden: Subtrahiere die Beträge der Summanden.
Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der betragsmäßig größeren Zahl.
Subtrahieren einer rationalen Zahl
Man subtrahiert eine rationale Zahl, indem man ihre Gegenzahl
addiert.
Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen
Multipliziere bzw. dividiere die Beträge der Zahlen.
Bei gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis positiv.
Bei verschiedenen Vorzeichen ist das Ergebnis negativ.
Die Division durch null ist nicht möglich.
Rechengesetze – Rechenvorteile
In Summen darf man Summanden, in Produkten darf man
Faktoren vertauschen (Kommutativgesetz).
Wenn in einem Term nur addiert oder nur multipliziert wird, kann
man Klammern setzen oder weglassen (Assoziativgesetz).
Bei der Verbindung der Rechenarten gilt das Distributivgesetz.
Beim Subtrahieren darf man die Reihenfolge der Zahlen nicht vertauschen. Will man dennoch die Reihenfolge in Termen verändern,
in denen auch subtrahiert wird, muss man den Term als Summe
schreiben.
Beim Auflösen von Plusklammern behalten alle Summanden in
der Klammer ihr Vorzeichen.
Beim Auflösen von Minusklammern wechseln alle Summanden
in der Klammer ihr Vorzeichen.
2Å · 634
Å26
63
84
133Å4
2,1 · 6,34
= 13,314
3,78 : 1,4 = 3å,8 : Å4 = 2,å
– 28
98
– 98
0
-4
-2
0
2
6
4
(+ 3) + (+ 5) = + 8
(– 3) + (– 5) = – 8
(+ 3) + (– 5) = – 2
(– 3) + (+ 5) = + 2
(+ 3) – (+ 5) = 3 + (– 5) = – 2
(– 3) – (– 5) = (– 3) + (+ 5) = 2
8 · 4 = 32
(– 8) · (– 4) = 32
– 8 · 4 = – 32
8 · (– 4) = – 32
8 : 4 = 2
– 8 : (– 4) = 2
– 8 : 4 = – 2
8 : (– 4) = – 2
– 3 + 5 = 5 + (– 3)
4 · (– 6) = – 6 · 4
( 2 + (– 7) )+ 11 = 2 + ( (– 7) + 11 )= 2 + (– 7) + 11
(7 · 6) · (– 2) = 7 · ( 6 · (– 2) ) = 7 · 6 · (– 2)
(3 – 7) · 5 = 3 · 5 – 7 · 5
(6 + 9) : 3 = 6 : 3 + 9 : 3
6,75 + 3,6 – 6,75 = 6,75 + 3,6 + (– 6,75) =
6,75 + (– 6,75) + 3,6 = 6,75 – 6,75 + 3,6 = 3,6
5 + (7 – 3) = 5 + 7 – 3
7 + (– 3 + 1) = 7 – 3 + 1
8 – (6 – 3) = 8 – 6 + 3
9 – (– 3 + 7) = 9 + 3 – 7
2 Basiswissen
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161 = 6
1 -6 1 = 6
-6
2
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