x - Prof. Dr.-Ing. Johannes Wandinger

23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
●
Einzelkräfte in einer Ebene:
–
–
Betrachtet wird ein starrer
Körper, an dem eine
Gruppe von parallelen
Kräften angreift, die alle in
einer Ebene liegen.
y
2. Schwerpunkt
Fi
B
O
Das Koordinatensystem
kann so gewählt werden,
dass die Kräfte in y-Richtung wirken.
Prof. Dr. Wandinger
F2
F1
x
x1
xB
Fn
xi
TM 1 2.1-1
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
Zusammenfassen der Kräfte am Punkt B ergibt:
n
n
F R =∑ F i , M =∑  x i− x B  F i
B
i=1
–
i=1
Für den Kräftemittelpunkt S gilt:
n
n
0= M S =∑ ( x i − x S ) F i →
i=1
n
–
O
Mit M =∑ x i F i folgt:
i=1
Prof. Dr. Wandinger
n
∑ xi Fi= x S ∑ F i= xS F R
i=1
i=1
n
O
1
M
x S = ∑ xi F i=
F R i=1
FR
2. Schwerpunkt
TM 1 2.1-2
1. Gruppe paralleler Kräfte
●
23.06.15
Streckenlasten:
–
Eine Streckenlast ist eine Kraft, die entlang einer Linie eines
Bauteils verteilt angreift.
–
Ihre Einheit ist Kraft pro Länge: N/m
–
Streckenlasten werden zur Beschreibung von Lasten verwendet, die an Bauteilen angreifen, deren Querschnittsabmessungen klein gegenüber ihrer Länge sind:
●
Eigengewicht von Balken
●
Schneelast auf Balken
●
Windlasten auf Balken
●
Auftriebsverteilung am Tragflügel
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.1-3
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
Beispiel: Eigengewicht
x
A
Δx
y
z
ΔG
ΔG
Δ G=ρ g Δ V =ρ g A Δ x → q=
=ρ g A
Δx
●
Bei veränderlichem Querschnitt gilt:
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
q ( x)=ρ g A( x)
TM 1 2.1-4
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
Beispiel: Schneelast
Δx
b
h(x)
y
x
z
 G S =S g  V
= S g b h  x  x
Prof. Dr. Wandinger
q S  x =
 GS
2. Schwerpunkt
x
= S g b h  x 
TM 1 2.1-5
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
Zur Ermittlung des Kräftemittelpunkts wird die Streckenlast
zunächst durch Kraftelemente approximiert:
Δxi
q(x)
x
xi
L
z
Prof. Dr. Wandinger
z
2. Schwerpunkt
x
q(xi )Δxi
TM 1 2.1-6
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
23.06.15
Für die Approximation gilt:
1
F R ≈∑ q  x i  x i , x S ≈ ∑ x i q x i  x i
FR i
i
–
Der Grenzübergang Δ x i →0 ergibt:
L
L
F R =∫ q( x) dx , x S =
0
Prof. Dr. Wandinger
1
x q( x) dx
∫
FR 0
2. Schwerpunkt
TM 1 2.1-7
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
●
Beispiel: Konstante Streckenlast
–
Resultierende Kraft:
L
F R =∫ q  x dx=q 0 ∫ dx=q 0 L
q(x)
0
q0
–
0
Resultierendes Moment:
L
O
L
M =∫ x q  x dx=q 0∫ x dx
O
L
0
=q 0
Streckenlast: q x=q 0
Prof. Dr. Wandinger
0
2 x=L
x
–
L
–
[ ]
x
2
1
2
= q0 L
2
x=0
Angriffspunkt:
2. Schwerpunkt
1
xS= L
2
TM 1 2.1-8
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
●
Beispiel: Lineare Streckenlast
–
Resultierende Kraft:
L
x
F R =∫ q  x dx=q 0 ∫ dx
0
0 L
q(x)
[ ]
2
x
=q 0
2L
q0
O
L
x
L
–
x=L
1
= q0 L
2
x=0
Resultierendes Moment:
L
L
M =∫ x q  x dx=q 0∫
O
–
Streckenlast:
0
[ ]
x
q x=q 0
L
Prof. Dr. Wandinger
0
3
x
=q 0
3L
2. Schwerpunkt
2
x
dx
L
x=L
1
2
= q0 L
3
x=0
TM 1 2.1-9
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
●
Angriffspunkt:
2
xS= L
3
–
 
x
x
q x=4 q 0 1−
L
L
Beispiel: Parabolische
Streckenlast
q(x)
O
L
Streckenlast:
–
Resultierende Kraft:
L
L
 
x
x
F R =∫ q  x dx=4 q 0 ∫ 1− dx
L
0
0 L
[
2
3
x
x
=4 q 0
− 2
2L 3L
]
x=L
2
= q0 L
3
x=0
x
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.1-10
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
Resultierendes Moment:
L
M O =∫ x q  x dx
●
Symmetrische Streckenlast:
0
L
q(x)
x2
x
=4 q 0 ∫
1− dx
L
0 L
[
 
3
4
x
x
=4 q 0
−
3 L 4 L2
]
x=L
1
= q0 L 2
3
–
1
Angriffspunkt: x S = L
2
Prof. Dr. Wandinger
qΔx
x=0
–
2. Schwerpunkt
x
S
x
qΔx
Der Kräftemittelpunkt liegt
auf der Symmetrieachse.
TM 1 2.1-11
1. Gruppe paralleler Kräfte
●
23.06.15
Bemerkung:
–
Wenn die resultierende Kraft null ist, gibt es keinen Kräftemittelpunkt.
–
In diesem Fall kann das Kraftsystem durch ein resultierendes Moment ersetzt werden.
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.1-12
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
●
Einzelkräfte im Raum:
–
–
z
Das Koordinatensystem
kann so gewählt werden,
dass die Kräfte in z-Richtung zeigen.
Fi
Fn
F1
F2
Zusammenfassen der
Kräfte am Punkte B ergibt:
y
B
n
x i - xB
F R =∑ F i
x
i=1
n
y i - yB
n
M x =∑  yi − y B  F i , M y =−∑  x i −x B  F i
B
B
i=1
Prof. Dr. Wandinger
i=1
2. Schwerpunkt
TM 1 2.1-13
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
Für den Kräftemittelpunkt S gilt:
n
n
0= M Sx =∑ ( yi − y S ) F i
→
i=1
n
0= M Sy =−∑ ( x i − x S ) F i →
i=1
–
23.06.15
n
∑ yi F i = y S ∑ F i = y S F R
i=1
i=1
n
n
∑ x i F i = x S ∑ F i= x S F R
i=1
i=1
Daraus folgt:
n
n
1
1
x S = ∑ x i F i , yS = ∑ yi F i
F R i=1
F R i=1
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.1-14
23.06.15
1. Gruppe paralleler Kräfte
–
Wirken die Kräfte entlang der
y-Achse, so gilt:
z
F1
xi - x B
n
M x =−∑  z i−z B  F i
B
i=1
Fi
B
n
M z =∑  x i − x B  F i
B
zi - zB
i=1
–
Für den Kräftemittelpunkt S
folgt:
n
y
F2
Fn
x
n
1
1
x S= ∑ xi F i , zS = ∑ zi F i
F R i=1
F R i=1
Prof. Dr. Wandinger
2. Schwerpunkt
TM 1 2.1-15

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