Andr´as B´atkai Sven-Ake Wegner Katharina Baumann Bergische Universit¨at Wuppertal SS 2015 ¨ Lineare Algebra I: Ubungsblatt 2 ¨ Ubungsaufgaben Aufgabe A. Auf der Menge M := R × R definieren wir eine Verkn¨ upfung ⊕ : M × M → M per (x, x0 ) ⊕ (y, y 0 ) := (x + y, x0 + y 0 ) f¨ ur (x, x0 ), (y, y 0 ) ∈ M . (i) Zeigen Sie, daß (M, ⊕) eine abelsche Gruppe ist. (ii) Zeigen Sie, daß U = {(x, y) ∈ M ; x = y} eine Untergruppe von (M, ⊕) ist. Aufgabe B. Sei (A, ?) eine Gruppe mit neutralem Element e und es gelte a ? a = e f¨ ur alle a ∈ A. Zeigen Sie, daß (A, ?) abelsch ist. Aufgabe C. Konstruieren Sie einen K¨orper mit vier Elementen. Aufgabe D. (i) Sei G eine Gruppe und H ⊆ G eine Teilmenge. Zeigen Sie, daß H genau dann eine Untergruppe von G ist, wenn H mit den von G induzierten Verkn¨ upfungen selbst eine Gruppe ist. (ii) Sei K ein K¨ orper und L ⊆ K eine Teilmenge. Zeigen Sie, daß L genau dann ein Teilk¨orper von K ist, wenn L mit den von K induzierten Verkn¨ upfungen selbst ein K¨orper ist. Hausaufgaben Aufgabe 1. (10 Punkte) Von den folgenden drei Aussagen sei genau eine richtig: (i) Anna hat u ucher. ¨ber tausend B¨ (ii) Anna hat weniger als tausend B¨ ucher. (iii) Anna hat mindestens ein Buch. Welche R¨ uckschl¨ usse k¨ onnen Sie aus den obigen Informationen u ¨ber die Anzahl von Annas B¨ uchern ziehen? Aufgabe 2. (10 Punkte) Sei f : R → R eine Abbildung. Bilden Sie die Negation der Aussage ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, y ∈ R : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε. Aufgabe 3. (10 Punkte) Sei f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie, daß f (f −1 (A)) = A genau dann f¨ ur jede Menge A ⊆ Y gilt, wenn f surjektiv ist. Aufgabe 4. (10 Punkte) Sei f : M → N eine Abbildung. Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind. (i) f ist surjektiv. (ii) Es existiert eine Abbildung g : N → M mit f ◦ g = idN . (iii) F¨ ur alle Abbildungen g1 , g2 : N → O gilt g1 ◦ f = g2 ◦ f ⇒ g1 = g2 . Abgabe: Bis Donnerstag, 23.04.2015, zu Beginn der Vorlesung in HS 12.