Name Vorname Mathematik Lehramt (Bachelor) Wirtschaftsmathematik Sonstiges: Matrikelnummer Lehramt (Alt) Nachklausur zur Veranstaltung Algebra (WS 13/14) Als Konzeptpapier sind die am Ende angef¨ ugten und vor Beginn der Aufgabenbearbeitung herauszulsenden Seiten zu verwenden. In die Bewertung werden nur die Ausf¨ uhrungen auf den daf¨ ur vorgesehenen nummerierten Heftseiten und auf dem von der Klausuraufsicht ausgegebenen Zusatzpapier einbezogen. Klausurergebnis bestanden nicht bestanden Pr¨ ufer Pr¨ ufer Hinweise (a) Seitenzahl: 7 Seiten (b) Dauer: • 180 Minuten (Bearbeitungszeit) (c) Hilfsmittel: Keine (d) Vor Beginn der Nachklausur sind auf diesem Blatt oben Name, Matrikelnummer und Studiengang einzutragen. Die Klausur muss auf der letzten Seite unterschrieben werden! (e) Die Nachklausur besteht aus einem Teil. Dieser besteht aus mehreren Aufgaben. Alle Aufgaben sind zu bearbeiten. Bei den Aufgaben 2, 3, 4, 5, und 6 sind alle Aussagen zu begr¨ unden. (f) Die Lsungen sind mit F¨ ullhalter oder Kugelschreiber, nicht mit Bleistift, auf dem zugeteilten Papier einzutragen. (g) Auf Verlangen wird von der Klausuraufsicht weiteres Papier zugeteilt. Dieses ist mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer zu beschriften. Aufgabe Erreichte Punkte 1 2 Interne Pr¨ ufvermerke 3 4 5 6 Gesamt Aufgabe 1. (20 Punkte) Bei den folgenden Teilaufgaben ist jeweils genau eine Antwort richtig; diese ist anzukreuzen. Beweise oder Begr¨ undungen sind nicht erforderlich. F¨ ur jede richtige Antwort erhalten Sie 2 Punkte, falsch beantwortete und nicht bearbeitete Teilaufgaben werden nicht gewertet. (a) Welche der folgenden Gruppen hat 60 Elemente? X eigentliche Ikosaedergruppe eigentliche gruppe W¨ urfel- eigentliche Tetraedergruppe (b) Welches der folgenden Mengen ist mit der angegeben Verkn¨ upfung eine Gruppe? R[x] mit der Multiplikation. M3 (Q)=3×3 Matrizen mit Multiplikation. X R3 mit komponentenweiser Addition. (c) Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Die Gruppe S3 ist eine einfache Gruppe. Die Gruppe S3 hat genau eine Untergruppe. X Die Gruppe S3 ist aufl¨osbar. (d) Sei R ein euklidischer Ring mit der Abbildung σ : R − {0} → N. Angenommen σ(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ R − {0}, welche der folgenden Aussagen ist wahr? R enth¨alt unendlich viele Elemente. R besteht nur aus Nullteilern. X R ist ein K¨orper. (e) Sei G eine endliche Gruppe, sei p eine Primzahl, die |G| teilt. Angenommen G hat nur eine p-Sylowuntergruppe S, welche der folgenden Aussagen ist wahr? G ist abelsch. G ist zyklisch. X S ist ein Normalteiler (f) Der Zerf¨allungsk¨orper K von x3 − 3 ∈ Q[x] u ¨ber Q hat welchen Grad [K : Q]? 3 X6 9 12. (g) Sei R = {f : R → R | f ist stetig} und sei S ⊂ R der Unterring R[x]. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? R ist ein Integrit¨atsbereich. R ist ein Hauptidealring. X Die Menge {f ∈ S | f (0) = 0} ist ein Hauptideal in S. (h) Welche der folgenden Aussagen ist wahr? √ X [Q( 4 4) : Q] = 2. Algebra √ [Q( 4 4) : Q] = 4. √ [Q( 4 4) : Q] = 8. Seite 1/7 (i) Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Das regelm¨aßige Siebeneck ist konstruierbar mit Zirkel und Lineal. Die Seitenl¨ange eines W¨ urfels mit Volumen Zwei ist konstruierbar mit Zirkel und Lineal. X Jede konstruierbare Zahl ist algebraisch und ihr Grad u ¨ber Q ist eine Zweierpotenz. (j) Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Zu jeder nat¨ urlichen Zahl gibt es bis auf Isomorphismus genau einen endlichen K¨orper mit dieser Kardinalit¨at. X Zu jeder Primzahlpotenz gibt es bis auf Isomorphismus genau einen endlichen K¨orper mit dieser Kardinalit¨at.. Die Kardinalit¨at eines endlichen K¨orpers ist stets eine Primzahl. Algebra Seite 2/7 Aufgabe 2. (15 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie: Die oberen Dreiecksmatrizen D in GLn (F2 ) bilden eine 2-Sylowuntergruppe. (Hinweis: Bestimmen Sie zun¨achst |GLn (F2 )| und |D|.) L¨ osung Die Gruppe GLn (F2 ) hat (2n − 1)(2n − 2)(2n − 22 ) · · · (2n − 2n−1 ) = 2(n−1)+(n−2)+...+1 ((2n − 1)(2n−1 − 1)(2n−2 − 1) · · · (2 − 1)) = 2n(n−1)/2 ((2n − 1)(2n−1 − 1) · · · (2 − 1)) Elemente, denn: In die erste Spalte kann man ein beliebiges Element bis auf den Nullvektor schreiben (also (2n −1) verschiedene M¨oglichkeiten) und in die zweite ein beliebiges Element bis auf eines aus dem Vektorraum aufgespannt durch den Vektor voher (also (2n − 2) verschieden M¨oglichkeiten) und in die dritte ein beliebiges Element bis auf eines aus dem Vektorraum aufgespannt durch die beiden Vektoren in den Spalten voher (also (2n − 22 ) verschiedene M¨oglichkeiten) usw. Die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen hat 2n(n−1)/2 Elemente: Auf der Diagonalen sind alle Eintr¨age = 1, die anderen (n(n − 1)/2) Eintr¨age oberhalb der Diagonalen sind beliebig, was zu beweisen war. Algebra Seite 3/7 Aufgabe 3. (3+3+3+3+3 Punkte) Welches der folgenden Polynome ist irreduzibel in Q[x]? Begr¨ unden Sie die Antwort: (a) f1 (x) = x7 − 21x3 + 6x2 + 24x + 33 (b) f2 (x) = x7 + 4x4 + 4x + 1 (c) f3 (x) = x11 + 1 (d) f4 (x) = x11 + 91x3 − 1183 (e) f5 (x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 L¨ osung: Zu a): f1 (x) ∈ Z[x], man kann das Eisensteinkriterium anwenden mit p = 3. Zu b): x = −1 ist eine Nullstelle, also (x + 1) teilt f2 (x). Zu c): x = −1 ist eine Nullstelle, also (x + 1) teilt f3 (x). Zu d): f4 (x) ∈ Z[x], man kann das Eisensteinkriterium anwenden mit p = 7. Zu e): f5 (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3). Algebra Seite 4/7 Aufgabe 4. (5+5+5+5 Punkte) Sei p eine ungerade Primzahl, sei Fp der K¨orper mit p Elementen und sei (F∗p , ·) die multiplikative Gruppe des K¨orpers. (a) Zeigen Sie: Die Abbildung Ψ : F∗p → F∗p , x 7→ x2 , ist ein Gruppenhomomorphismus. Bestimmen Sie den Kern der Abbildung und die Anzahl der Elemente des Bildes. (b) Zeigen Sie: Ist x ∈ F∗p ein Quadrat (d.h. es gibt ein y ∈ Fp mit x = y 2 ), dann gilt x p−1 2 − 1 = 0. (c) Zeigen Sie: Ein Element x ∈ F∗p ist ein Quadrat dann und nur dann wenn x p−1 2 = 1. (d) Zeigen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4k + 1. Lo ¨sung Da die Gruppe F∗p abelsch ist folgt Ψ(ab) = (ab)2 = a2 b2 = Ψ(a)Ψ(b) . Der Kern ist {±1}, das Bild hat also p−1 2 viele Elemente. p−1 p−1 Man hat x 2 = (y 2 ) 2 = y p−1 = 1, da p − 1 die Ordnung der Gruppe ist. p−1 Das Polynom X 2 − 1 hat h¨ochstens p−1 2 viele Nullstellen. Aus (b) folgt, dass jedes Quadrat eine Nullstelle ist, und aus (a) folgt, dass man genau p−1 2 viele Quadrate hat. Also sind die p−1 Nullstellen von X 2 − 1 genau die Quadrate. Sei N = 4(p1 · · · pn )2 + 1 und sei p eine Primzahl die N teilt. Dann ist p ungerade und verschieden von p1 , . . . , pn . Da N = 0 mod p folgt −1 = (2(p1 · · · pn ))2 in Fp und somit p−1 (−1) 2 = 1, oder, anders gesagt, p−1 2 = 2k ist eine gerade Zahl und damit p = 4k + 1, im Widerspruch zur Annahme. Algebra Seite 5/7 Aufgabe 5. (5+5+5 Punkte) √ √ Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen, sei L = Q( p, q). (a) Bestimmen Sie den Grad [L : Q]. (b) Zeigen Sie, dass L/Q eine Galois-Erweiterung ist. (c) Bestimmen Sie die Galoisgruppe Gal(L/Q). √ √ Lo ¨sung Angenommen p ∈ Q. So gibt es ganze teilerfremde Zahlen a, b mit p = a/b. Somit √ √ gilt p = a2 , was ein Widerspruch ist. Angenommen q ∈ Q( p). Somit gibt es rationale Zahlen a, b mit √ √ √ √ q = a + b p =⇒ q = a2 + 2ab p + b2 p ∈ Q =⇒ p ∈ Q. √ ¨ √ √ Also hat das Minimalpolynom von p ber Q als auch das Minimalpolynom von q u ¨ber Q( p) Grad 2. Es folgt [L : Q] = 4. Desweiteren ist L der Zerf¨allungsk¨orper von (x2 −p)(x2 −q) und da charQ = 0 ist die Erweiterung galoissch. Die Galoisgruppe hat 4 Elemente. Sei σ ∈ Gal(L/Q). √ √ √ √ Es gilt σ( p) = ± p und σ( q) = ± q. Da die Galoisgruppe kein Element der Ordnung 4 hat, ist sie isomorph zu Z/2Z × Z/2Z. Algebra Seite 6/7 Aufgabe 6. (3+6+6 Punkte) Sei P (X) das Polynom X 3 + X 2 − 2X − 1 ∈ Q[X]. (a) Zeigen Sie: P (X) ist irreduzibel. (b) Sei Q(X) = X 3 − s1 X 2 + s2 X − s3 ∈ Q[X] und seien α, β, γ die Wurzeln des Polynoms, also Q(X) = (X − α)(X − β)(X − γ) und somit αβγ = s3 , α + β + γ = s1 und αγ + αβ + βγ = s2 . Zeige: ∆ := (α − β)2 (β − γ)2 (α − γ)2 kann aus den Koeﬃzienten von Q(X) berechnet werden, genauer: ∆ = s21 s22 − 4s32 − 4s31 s3 − 27s23 + 18s1 s2 s3 . √ (c) Zeigen Sie: F¨ ur das Polynom P (X) gilt ∆ = 49, und somit ∆ ∈ Q. Folgern Sie: Die Galoisgruppe von P (X) ist von Ordnung 3. Lo ¨sung Modulo 2 erh¨alt man das Polynom X 3 + X 2 + 1, welches irreduzibel ist. Die behauptete Gleichung f¨ ur ∆ rechnet man nach, ebenso den Wert von ∆ f¨ ur P (X). Die Galoisgruppe ist eine Untergruppe der S3 und damit ist die Ordnung ein Teiler von 6. Die Gruppe operiert transitiv auf den Wurzeln, ist also von der Ordnung 3 oder 6. Beachten Sie: √ ∆ = (α−β)(β −γ)(α−γ). Ist die Galoisgruppe die Gruppe √ S3 , so√hat man die Vertauschung √ τ der Wurzeln α, β in der Galoisgruppe, und es gilt τ ( ∆) = − ∆. Es gilt aber ∆ ∈ Q √ √ und somit τ ( ∆) = ∆ f¨ ur alle τ in der Galoisgruppe. Daher ist die Galoisgruppe nicht S3 , es bleibt nur die A3 , die zyklisch und von der Ordnung 3 ist. Algebra Seite 7/7 Aufgabe 7. (5+5+5 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring. Dann ist N il(R) := {a ∈ R | ∃n ∈ N : an = 0} das sog. Nilradikal. (a) Zeigen Sie: Wenn a ∈ N il(R), dann ist 1 − a eine Einheit von R. (b) Bestimmen Sie das Nilradikal von Z/20Z. (c) Sei M2 (R) der Ring der 2 × 2-Matrizen mit Eintrgen in R. Geben Sie zwei nilpotente Elemente in M2 (R) an, so dass die Summe der beiden Elemente nicht nilpotent ist. ∑n−1 Lo ¨sung Zu (a): Das inverse zu (1 − a) ist i=0 ai . Zu (b): Sei m ∈ Z/20Z − {0} mit mn = 0 f¨ ur ein n ∈ N. Dann ist mn ∈ 20Z. D.h. 20|mn und daher 2|m und 5|m. Der einzige Repr¨asentant der 2 und 5 als Teiler hat ist m = 10. Andererseits gilt 102 = 100 ∈ 20Z.(Es folgt ) N il(R) ( =){0, 10}. 0 1 0 0 Zu (c): Wir w¨ahlen die Matrizen und 0 0 1 0 Algebra Seite 8/7 Aufgabe 8. (15 Punkte) Zeigen oder widerlegen Sie: Jede Gruppe G der Ordnung 33 ist zyklisch. (Hinweis: Bestimmen Sie die Zahl der Sylowgruppen). Lo ¨sung Es gilt 33 = 3 ∗ 11. Es gibt genau eine 3-Sylowgruppe, denn aus m3 = 1mod3 und m3 |11 folgt m3 = 1, da 11 ̸= 1mod3. Ebenso gibt es genau eine 11-Sylowgruppe, denn aus m11 = 1mod11 und m1 1|3 folgt m11 = 1. Somit sind beide Sylowuntergruppen Normalteiler. Weiterhin ist der Schnitt der beiden Sylowuntergruppen wieder eine Untergruppe die sowohl 3 als auch 11 teilt und somit trivial ist. Daher ist G das direkte Produkt seiner Sylowuntergruppen und da ggT (3, 11) = 1 ist G somit auch zyklisch. Algebra Seite 9/7