Übungsblatt 6

Prof. Dr. Peter Littelmann
Dr. Deniz Kus
ÜBUNGEN ALGEBRA I, BLATT 6
Wintersemester 2013/2014
(Abgabe in den Übungen 27/29.11.13)
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei G eine Gruppe der Ordnung pq mit p, q prim, p < q.
i) Zeige, dass G eine normale q-Sylowuntergruppe hat.
ii) Gilt p - q − 1, so ist G zyklisch.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
i) Sei G eine Gruppe der Ordnung 40. Zeigen Sie, dass G nicht einfach ist.
ii) Sei G eine Gruppe der Ordnung 36. Zeigen Sie, dass G nicht einfach ist.
Hinweis ii): Im Fall, dass G mehr als eine 3-Sylowuntergruppe hat, betrachten Sie die
Operation von G auf den 3-Sylowuntergruppen durch Konjugation und definieren Sie
einen Gruppenhomomorphismus G → S4 .
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Bestimmen Sie die Sylowuntergruppen der Würfelgruppe.
Aufgabe 4 (8 Punkte)
i) Sei G eine auflösbare Gruppe und
G = G0 ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gn = {e}
eine Normalreihe (Gi normale Untergruppe in Gi−1 ) mit abelschen Faktoren (Gi−1 /Gi
abelsch). Sei H eine Untergruppe von G. Zeige, dass
H = G0 ∩ H ⊇ G1 ∩ H ⊇ · · · ⊇ Gn ∩ H = {e}
eine Normalreihe mit abelschen Faktoren ist.
ii) Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Zeigen Sie: G ist genau dann
auflösbar, wenn N und G/N auflösbar sind.
iii) Es seien p, q verschiedene Primzahlen. Man zeige, dass jede Gruppe der Ordnung
pq auflösbar ist.


1 a b
iv) Zeige, dass die Matrizen der Form 0 1 c  mit a, b, c ∈ Z/3Z eine Gruppe G
0 0 1
der Ordnung 27 bilden, in der jedes Element die Ordnung 3 hat. Bestimme eine
Normalreihe mit Faktoren isomorph zu Z/3Z für G.
1

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