Prof. Dr. Daniel Huybrechts Dr. Hans Franzen WS 2014/15 Klausur Einfu ¨ hrung in die Algebra: Galois Theorie Aufgabe A. (Punkte: 4) Sei G eine endliche Gruppe ungerader Ordnung. Man zeige, dass jede Untergruppe H ⊂ G vom Index (G : H) = 3 normal ist. Aufgabe B. (Punkte: 2 + 2 + 2) Sei f ∈ Q[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad vier mit Gal(f ) = S4 . i) Man zeige, dass der Zerf¨ allungsk¨orper L von f einen Unterk¨orper Q ⊂ K ⊂ L mit [K : Q] = 3 enth¨ alt. ¯ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, ii) Gilt folgende Aussage? Wenn eine Zahl α ∈ Q n dann gilt [Q(α) : Q] = 2 . iii) Benutzen Sie i), um ein Gegenbeispiel f¨ ur die Umkehrung der Aussage in ii) zu geben. ∼ Aufgabe C. (Punkte: 4) √ Sei√L/Q eine Galoiserweiterung mit Gal(L/Q) = Z/2Z × Z/2Z. Man zeige, dass L = Q( d1 , d2 ), wobei d1 , d2 ∈ Q die Eigenschaft haben, dass keine der Zahlen d1 , d2 , d1 · d2 ∈ Q ein Quadrat ist. Aufgabe D. (Punkte: 3 + 3) Sei p eine Primzahl und f ∈ Q[X] ein irreduzibles Polynom vom Grad p, so dass genau zwei der Nullstellen von f in C nicht in R liegen. i) Beweisen Sie, dass Gal(f ) eine Transposition und einen Zykel von maximaler L¨ange enth¨ alt. ii) Schließen Sie daraus, dass Gal(f ) = Sp ist. Aufgabe E. (Punkte: 3) Man bestimme das Kreisteilungspolynom Φ18 (X) ∈ Q[X]. √ Aufgabe F. (Punkte: 3 + 3) Sei p eine Primzahl. Wann ist Q( p p)/Q eine Galoiserweite√ rung (mit Begr¨ undung)? Man berechne das Minimalpolynom von p p und den Grad seines Zerf¨allungsk¨ orpers. Aufgabe G. (Punkte: 2+2) Man bestimme den Zerf¨allungsk¨orper L der folgenden Polynome aus K[X] sowie den Grad [L : K] der Erweiterung: i) X 4 + 2X 2 − 2 ∈ Q[X] u ¨ber K = Q, ii) X 6 + 1 ∈ F2 [X] u ¨ber K = F2 . Klausureinsicht: Donnerstag, den 26.02.15 von 15:00 bis 16:30 Uhr in 1.007 und 1.008.