Hochschule f¨ ur angewandte Wissenschaften Augsburg Fakult¨ at Allgemeinwissenschaften Physik fu ¨ r Maschinenbau WS 14/15 Prof. Dr. Holger Schmidt Dr. Christine Zerbe, Dr. Hadwig Sternschulte ¨ Ubungsblatt C.3 21.10.2014 1. Aufgabe Ein K¨orper der Masse m = 2 kg wird in einer H¨ohe von h = 1.5 m auf eine schiefe Ebene gelegt, die einen Winkel von α = 30◦ mit der Horizontalen einschließt. Sowie der K¨orper losgelassen wird, rutscht er die schiefe Ebene reibungsfrei hinunter auf eine ebenso reibungsfreie Ebene, legt dort einen Weg von d = 30 cm zur¨ uck und triﬀt dann N auf eine Feder mit der Federkonstanten D = 500 m . (i) Wie gross ist die Stauchung der Feder, wenn der K¨orper wieder zur Ruhe kommt? (ii) Wie lange dauert es, bis der K¨orper die Feder ber¨ uhrt? 2. Aufgabe Ein Auto der Masse ma = 900 kg f¨ahrt mit eine Geschwindigkeit von va = 20 ms . Ein Polizeiauto der Masse mp = 1100 kg, welches sich am Rand der Strasse befindet und Geschwindigkeiten kontrolliert beginnt in dem Moment, als es vom Auto passiert wird, dieses einzuholen. Es beschleunigt dabei mit ap = 3 sm2 , erreicht das Auto und st¨oßt mit ihm zusammen. Nach dem Zusammenstoß haften die beiden Massen aneinander. (i) Wie lange dauert es, bis die Polizei das Auto eingeholt hat? (ii) Wie schnell ist das Poilzeiauto dann? (iii) Wie schnell sind die beiden Autos nach der Kollision? (iv) Wieviel Energie geht beim Zusammenstoß verloren? 3. Aufgabe Ein mathematisches Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse m = 2 kg das an einem Faden der L¨ange l = 3 m befestigt ist. Der Massepunkt wird in horizontale Richtung mit einer Geschwindigkeit von v = 4.5 ms angestoßen. Betrachten sie die Situation, bei der der Faden einen Winkel von α = 30◦ mit der Vertikalen einschließt. (i) Wie groß ist die potentielle Energie? (ii) Wie groß ist die Geschwindigkeit? (iii) Welchen maximalen Winkel αmax erreicht der Massepunkt im h¨ochsten Punkt? 4. Aufgabe Betrachten sie eine Masse m, die an einer Feder mit der Federkonstante D befestigt ist. (i) Erkl¨aren sie, warum die Bewegungsgleichung dieses Systems die folgende Form hat m¨ x(t) + Dx(t) = 0 . Zeige Sie, dass √ x(t) = A sin(ωt) mit ω = D m eine L¨osung dieser Bewegungsgleichung ist. (ii) Zeigen sie, dass die Energie E Erhalten ist, d.h. 1 1 E = mx˙ 2 (t) + Dx2 (t) 2 2 5. Aufgabe Betrachten sie eine Masse-Feder-System mit einer Masse m1 = 0, 4 kg, die an eine Feder bestigt ist (und zu Anfang ruhen soll) und einer zweiten Masse m2 = 0, 6 kg die sich auf m1 mit einer unbekannten Geschwindigkeit v bewegt. Die zwei Massen stoßen total inelastisch zusammen und beginnen eine harmonische Schwingung mit der Amplitude A = 16 cm und f = 0.38 Hz. (i) Bestimmen Sie die Federkonstante D. (ii) Finden Sie die Geschwindigkeit v der Masse m2 vor der Kollision. (iii) Wieviel Energie geht bei der Kollision verloren? 6. Aufgabe Betrachten Sie den Stoß eines K¨orpers des Masse m1 , der sich mit der Geschwindigkeit v1 auf eine ruhende Wand zubewegt. Was ist die Geschwindigkeit v1′ nach dem elastischen Stoß mit der Wand? Nehmen Sie dazu die in der Vorlesung abgeleiteten Gleichungen f¨ ur den elastischen Stoß (m1 − m2 )v1 + 2m2 v2 (m2 − m1 )v2 + 2m1 v1 v1′ = und v2′ = (1) m1 + m2 m1 + m2 und betrachten Sie den Fall v2 = 0 und m2 → ∞ (wieso?). 7. Aufgabe (schwieriger) In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass die Energie E eine Erh¨altungsgroße ist m E = x˙ 2 (t) + V (x) . 2 Diese Relation wollen wir nun als Startpunkt verwenden um x(t) zu finden. Umschreiben f¨ uhrt auf √ dx 2 dx = (E − V (x)) ⇔ √ = dt x(t) ˙ = dt m 2 (E − V (x)) m Durch Integration beider Seiten dieser Gleichung erh¨alt man die Funktion t(x). Bildung der Umkehrfunktion liefert x(t). Finden Sie x(t) f¨ ur den Fall V (x) = D2 x2 . Hinweis: ∫ x 1 √ dx = arcsin 2 2 a a −x