Prof. Dr. Daniel Huybrechts Dr. Hans Franzen WS 2014/15 Nachklausur Einfu ¨ hrung in die Algebra: Galois Theorie Aufgabe A. (Punkte: 5) Sei G eine endliche Gruppe und p der kleinste Primteiler der Ordnung von G. Beweisen Sie, dass jede Untergruppe H ⊂ G vom Index p normal ist. Schließen Sie daraus, dass A5 keine Untergruppen vom Index zwei hat. Aufgabe B. (Punkte: 3) Sei p eine Primzahl der Form 2k + 1. Man beweise, dass die Zahl cos(2π/p) mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Aufgabe C. (Punkte: 2+2+2) Bestimmen Sie die irreduziblen Faktoren folgender Polynome in den jeweils angegebenen (faktoriellen) Ringen: i) X 4 + X + 1 ∈ Q[X]. ii) X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 ∈ Q(ζ52 )[X], wobei ζ5 eine primitive f¨ unfte Einheitswurzel ist. iii) X 4 + 8X + 12 ∈ F5 [X]. Aufgabe D. (Punkte: 2 + 2) Sei f (X) := X p−1 − 1 ∈ Fp [X]. i) Beschreiben Sie die Nullstellen von f (X). ii) Beweisen Sie, dass p|((p − 1)! + 1). Aufgabe E. (Punkte: 4) Sei f (X) = X 4 + aX 2 + b ein irreduzibles Polynom u ¨ber Q mit Nullstellen ±α und ±β. Sei L der Zerf¨allungsk¨orper von f u ¨ber Q. Sei Gal(L/Q) zyklisch. Zeigen Sie, daß α β − ∈Q β α folgt. Aufgabe F. (Punkte: 2 + 2 + 2) Sei f (X) := X 4 + 2 ∈ Q[X]. i) Berechnen Sie die Nullstellen von f in C und beschreiben Sie den Zerf¨allungsk¨orper L ⊂ C von f . ii) Berechnen Sie die Galoisgruppe Gal(L/Q). iii) Berechnen Sie die Galoisgruppe Gal(f ) f¨ ur f = X 4 + 2 ∈ F11 [X]. Aufgabe G. (Punkte: 3)√Es seien √ p1 6= p2 Primzahlen. Bestimmen Sie die Galois Gruppe der K¨orpererweiterung Q( p1 , p2 )/Q und alle Zwischenk¨orper. Einsicht: Mittwoch, den 01.04.15 von 15:00 bis 16:30 Uhr in N0.003.