3. Aufgabenblatt: Lineare Algebra 1
(Lehramt)
(SS2015, Hans-Joachim von H¨ohne)
Abgabe: 13.5.2015
Die Aufgaben stehen im Internet: page.mi.fu-berlin.de/hoehneze/SS2015/hopa lina1 SS2015
Aufgabe 3.1 Sei G = IR \ {1} und ∗ : G × G −→ IR die Abbildung
a ∗ b = a + b − ab
Zeigen Sie:
1) ∗ ist eine Verkn¨
upfung auf G, d.h. a ∗ b ∈ G f¨
ur alle a, b ∈ G.
2) (G, ∗) ist eine kommutative Gruppe.
3) U = {0, 2} ist eine Untergruppe von G.
Aufgabe 3.2 Sei (G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie:
1) F¨
ur alle a, b ∈ G sind folgende Gleichungen eindeutig l¨osbar in G.
a∗x=b ,
y∗a=b
2) Ist G endlich, so tritt in der Verkn¨
upfungstafel von ∗ in jeder Zeile (und in jeder Spalte)
jedes Element von G genau einmal auf.
Aufgabe 3.3
Seien (G, ∗) und (H, · ) Gruppen und
φ : G −→ H
ein Gruppen-
Homomorphismus.
Zeigen Sie.
1) Ist U eine Untergruppe von G, so ist φ(U ) eine Untergruppe von H. Ist zus¨atzlich G
kommutativ, so ist auch φ(U ) kommutativ (auch wenn H nicht kommutativ ist).
2) Ist V eine Untergruppe von H, so ist das Urbild φ−1 (V ) eine Untergruppe von G.
Aufgabe 3.4 Bestimmen Sie die Verkn¨upfungstafeln von
1) (ZZ 5 , +),
2) (ZZ 5 , · ),
3) (ZZ 6 , · ).
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