¨ Blatt 3 der Ubungen zur Vorlesung Analysis I fu ¨r Informatiker und Statistiker, LMU Mu¨nchen, WS 2014/2015 Dr. Peter Philip, Dr. Jan Swoboda 20. Oktober 2014 1. (10 Punkte) Es seien A, B und C nichtleere Mengen sowie f : A → B und g : B → C Abbildungen. Betrachten Sie die Komposition g ◦ f : A → C. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. (a) (b) (c) (d) Ist Ist Ist Ist f f f f injektiv und g injektiv, so ist g ◦ f injektiv. surjektiv und g surjektiv, so ist g ◦ f surjektiv. nicht surjektiv und g injektiv, so ist g ◦ f nicht surjektiv. nicht injektiv und g bijektiv, so ist g ◦ f nicht bijektiv. 2. (10 Punkte) Es seien folgende Abbildungen gegeben: • f : N → N, n → 2n, • g : N × N → N0 , (m, n) → max{m, n} − min{m, n}. (a) Bestimmen Sie die Einschr¨ankung der Abbildung g auf den Graphen von f . (b) Geben Sie eine injektive Fortsetzung der Abbildung f auf die Menge Z der ganzen Zahlen an und beweisen Sie Ihre Behauptung. 3. (10 Punkte) Bestimmen Sie zwei verschiedene rechtsinverse Abbildungen von h : N0 × N → N, (m, n) → m + n. Ist h auch linksinvertierbar? 4. (10 Punkte) Sei M = {a, b} eine zweielementige Menge. Bestimmen Sie alle Relationen auf M und untersuchen Sie diese jeweils auf (a) (b) (c) (d) Reflexivit¨at, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivit¨at. ¨ Abgabe des Ubungsblattes bis Montag, 03.11.2014, 12 s. t., im Kasten zur Vorlesung neben der Bibliothek. Hinweis: Es erfolgt eine Punkteteilung bei gemeinsamer Abgabe, das heißt, die Punkte einer Aufgabe werden zwischen allen, die identische oder abgeschriebene L¨osungen f¨ ur die ¨ Aufgabe abgeben, geteilt. Weitere Hinweise zur Vorlesung und den Ubungen sind auf der Seite http://www.math.lmu.de/~swoboda/Analysis_I_Informatiker_Statistiker.html zu finden.