Prof. Dr. Daniel Huybrechts Dr. Hans Franzen WS 2014/15 ¨ Ubungen zur Einfu ¨ hrung in die Algebra: Galois Theorie – Blatt 4 Aufgabe 17. (Punkte: 4) Man beweise, dass jede endliche aufl¨osbare Gruppe eine Normalreihe mit Faktoren von Primzahlordnung (die dann automatisch zyklisch sind) besitzt. Aufgabe 18. (Punkte: 2) Sei ϕ : R1 → R2 ein Ringhomomorphismus. Beweisen Sie den ‘Homomorphiesatz f¨ ur Ringe’: F¨ ur ein Ideal a ⊂ R1 l¨aßt sich ϕ genau dann als Komposition R1 → R1 /a → R2 schreiben, wenn a ⊂ Ker(ϕ). (Orientieren Sie sich dabei am Homomorphiesatz f¨ ur Gruppen.) Aufgabe 19. (Punkte: 2 + 1) Sei ϕ : R1 → R2 ein Ringhomomorphismus. i) Man zeige, dass ϕ einen Gruppenhomomorphismus R1∗ → R2∗ induziert. Ist dieser immer injektiv? ii) Man zeige, dass ϕ injektiv ist, falls R1 ein K¨orper ist. √ Aufgabe 20. (Punkte: 3) Man schreibe 210 ∈ Z[ −1] als Produkt von Primelementen. Aufgabe 21. (Punkte: 4) Man zeige, √ dass 2, 3, 1 + keine Primelemente des Ringes Z[ −5] sind. √ −5, 1 − √ −5 irreduzible Elemente aber Aufgabe 22. (Punkte: 2) Sei p ⊂ R ein Primideal. Man beweise, dass dann pR[X], das von p erzeugte Ideal von R[X], ein Primideal in R[X] ist. Abgabe: 3.11.2014 vor der Vorlesung.
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