Serie 9

Analysis II
MATH, PHYS, CHAB
Prof. D. Salamon
FS 2015
Serie 9
1. Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Zeigen Sie die folgenden
Aussagen:
(a) Es gilt genau dann x ∈ A¯, wenn eine Folge (xn ) ⊂ A existiert, welche gegen x konvergiert.
(b) Sei B ⊂ X eine abgeschlosse Teilmenge von X mit A ⊂ B . Dann gilt A¯ ⊂ B .
˚.
(c) Sei U ⊂ X eine oene Teilmenge von X mit U ⊂ A. Dann gilt U ⊂ A
˚ ist oen.
(d) A¯ ist abgeschlossen und A
˚ = X\A.
(e) Es gilt X\A
2. Sei (X, d) ein metrischer Raum und A, B ⊂ X beliebige Teilmengen. Zeigen Sie die folgenden
Aussagen:
(a)
(b)
(c)
(d)
A ∪ B = A ∪ B.
˚∩ B
˚ = (A ∩ B)◦ .
A
A ∩ B ⊂ A ∩ B.
˚∪ B
˚ ⊂ (A ∪ B)◦ .
A
˚∪ B
˚ 6= (A ∪ B)◦ .
Finden Sie Beispiele mit A ∩ B 6= A ∩ B und A
3. (a) Sei Br (0) := {x ∈ Rn | ||x|| < r} der oene Ball vom Radius r im
euklidischen Norm. Zeigen Sie, dass
Rn bezüglich der
Br (0) = {x ∈ Rn | ||x|| ≤ r} und ∂Br (0) = {x ∈ Rn ||x|| = r}
gilt.
(b) Zeigen Sie, dass in allgemeinen metrischen Räumen die Aussage aus Teil (a) nicht gültig
ist.
˚ und ∂C ?
4. Sei C ⊂ R die Cantormenge. Was sind C¯ , C
5. Characterisieren Sie diejenigen Teilmengen von R und R2 , die eine Partition besitzen.
6. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über Jordan-Nullmengen.
(a) Die Cantormenge C ⊂ [0, 1] ist eine Jordan-Nullmenge.
(b) Sei (xk ) eine konvergente Folge im Rn . Zeigen Sie, dass die Menge der Folgenglieder
{xk | k ∈ N} eine Jordan-Nullmenge ist.
(c) Die Menge A := Q ∩ [0, 1] ist keine Jordan-Nullmenge von R.
Abgabe:
Montag, den 27. April 2015.
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