Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis, WS 2015/2016
Aufgabe 4
Beweisen Sie für Abbildungen g : A → B und f : B → C:
a) Ist f ◦ g injektiv, so ist g injektiv.
b) Ist f ◦ g surjektiv, so ist f surjektiv.
c) Zeigen Sie durch Gegenbeispiele, dass in a) f nicht injektiv und in b) g nicht surjektiv sein muss.
Lösung:
a) Beweis Sei f ◦ g injektiv
g(x1 ) = g(x2 )
=⇒
f (g(x1 )) = f (g(x2 ))
=⇒
(f ◦g)(x1 ) = (f ◦g)(x2 )
=⇒
x1 = x2
(da f ◦ g injektiv ist). Also ist auch g injektiv.
b) Beweis
Sei f ◦ g surjektiv. Dann gibt es zu jedem c ∈ C ein a ∈ A mit
(f ◦ g)(a) = f (g(a)) = c
Es folgt, dass es zu c ∈ C ein b ∈ B mit f (b) = c gibt, nämlich b = g(a). Also ist f surjektiv.
c) Seien zunächst A := C := {1}, B := {1, 2}, g : A → B definiert durch g(1) := 1, f : B → C definiert
durch f (1) := f (2) := 1; dann ist
f ◦ g : A → A, (f ◦ g)(1) = f (g(1)) = 1
und ist trivialerweise injektiv, jedoch nicht f wegen f (1) = f (2).
Mit demselben Beispiel erhält man auch, dass f ◦ g surjektiv ist, aber nicht g, da es zu b = 2 ∈ B kein
a ∈ A gibt mit g(a) = 2.

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