Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis, WS 2015/2016 Aufgabe 4 Beweisen Sie für Abbildungen g : A → B und f : B → C: a) Ist f ◦ g injektiv, so ist g injektiv. b) Ist f ◦ g surjektiv, so ist f surjektiv. c) Zeigen Sie durch Gegenbeispiele, dass in a) f nicht injektiv und in b) g nicht surjektiv sein muss. Lösung: a) Beweis Sei f ◦ g injektiv g(x1 ) = g(x2 ) =⇒ f (g(x1 )) = f (g(x2 )) =⇒ (f ◦g)(x1 ) = (f ◦g)(x2 ) =⇒ x1 = x2 (da f ◦ g injektiv ist). Also ist auch g injektiv. b) Beweis Sei f ◦ g surjektiv. Dann gibt es zu jedem c ∈ C ein a ∈ A mit (f ◦ g)(a) = f (g(a)) = c Es folgt, dass es zu c ∈ C ein b ∈ B mit f (b) = c gibt, nämlich b = g(a). Also ist f surjektiv. c) Seien zunächst A := C := {1}, B := {1, 2}, g : A → B definiert durch g(1) := 1, f : B → C definiert durch f (1) := f (2) := 1; dann ist f ◦ g : A → A, (f ◦ g)(1) = f (g(1)) = 1 und ist trivialerweise injektiv, jedoch nicht f wegen f (1) = f (2). Mit demselben Beispiel erhält man auch, dass f ◦ g surjektiv ist, aber nicht g, da es zu b = 2 ∈ B kein a ∈ A gibt mit g(a) = 2.
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