平成１６年度修士論文非線形動解析を用いた摩擦による減衰に関する研究指導教員芝田京子講師副指導教員井上喜雄教授高知工科大学大学院工学研究科基盤工学専攻知能機械システム工学コース学籍番号 1075080 山本英二目次１．緒言 ............................................................................................................. 1 ２．変位拡大機構 ............................................................................................... 2 ２．１変位拡大機構について ............................................................................................... 2 ２．２変位拡大機構動吸振器 ............................................................................................... 5 ２．３変移拡大型動吸振器の摩擦による減衰 ....................................................................... 9 ３．非線形動解析結果と実機での実験との比較 .............................................. 12 ３．１実験の概要............................................................................................................... 12 ３．２実機と同一のモデル ................................................................................................. 13 ３．３解析条件 .................................................................................................................. 14 ３．４解析結果 .................................................................................................................. 15 4．上下棒ばねの張力を一定とした解析........................................................... 20 ４．１解析条件 .................................................................................................................. 20 ４．２解析結果 .................................................................................................................. 20 ５．結言 ........................................................................................................... 23 ６．謝辞 ........................................................................................................... 23 参考文献 ........................................................................................................... 24 １．緒言振動を減衰させるデバイスとしてはオイルダンパや粘弾性体などがよく用いられるが，摩擦が存在する構造の場合には摩擦を減衰に利用することができれば，コストやメンテナンスの面から有利であると考えられる，摩擦力は速度と反対の方向に働くため，エネルギを消散する性質を有しており，実際に大型の建築物の制振や免震などの減衰特性の一部を担っていが，摩擦力は，非線形減衰力であり，例えば法線力と摩擦係数が一定であるとすれば，振動の振幅が大きくなるにしたがって減衰性能が低下して行き，本当に減衰が必要となる大地震の時には減衰効果が期待できないことになる．一方，振動振幅が非常に小さい場合には，摩擦面に働く力が最大静止摩擦力を超えなければまったくエネルギを消散しないので，減衰効果はゼロである．そこで本研究では，前述のようにあまり望ましくない減衰特性を有する摩擦による減衰を線形減衰と同様，振動振幅によらず一定の減衰性能を持たせること，すなわち線形化を考える．それを達成する考え方として，摩擦力が振動振幅に比例して大きくなるような構造を作ることができれば，振動１サイクル当たりの消散エネルギが，線形の場合と等価になることに着目し，振動により発生するばね力に比例して摩擦が発生するような構造を考える．具体的には，上下方向の低周波の振動に対する動吸振器，あるいは上下方向の除振を意識して，拡大機構と線材ばねを用いた構造において，ばね定数の差により振動振幅に比例した摩擦力を発生する構造を考える．実験ではパラメータサーベイの範囲が限られるので，ここではマルチボディシステムの動解析プログラム DADS を用いた非線形動的解析を用いて検討する． 1 ２．変位拡大機構２．１変位拡大機構について拡大機構と線材ばねを用いた構造を考えるおいて，動解析に用いる変位拡大機構を用いた変位拡大型動吸振器について説明を行う．図２-１単純支持構造動吸振器図２-１は質量 M をコイルばねで支持した単純支持構造動吸振器のモデルである．この系の固有振動数ｆを低くするためには次式 f = 1 2π K M （１）よりばね定数ｋを低く設定する必要がある．しかしこの系が自重を支えるためには，ばねにある程度の強度を持たせることが必要であり，強度を下げることになるばね定数を下げる，という方法には限界がある．そこで考えられたのが，図２-２に示す変位拡大を利用した系である． 2 図２-２変位拡大機構質量とばねはつりあっているものとする．この構造で質量が振動したとすれば，ばね部分の変位に比べ質量部分の変位が大きくなることが分かる．このように，ばね部分の変位に比べ質量部分の変位を拡大する機構を変位拡大機構と呼ぶ．また，ばね部分の変位に比べ質量部分の変位がどのくらい拡大されたかを示す割合を拡大率と呼ぶことにする．以下に変位拡大機構を用いることで容易に等価なばね定数を低くできることを示す．簡単のために変位を微小とし線形の範囲で考えれば，拡大率βは β＝ ∆X m ∆X k = L∆θ L = l∆θ l （２）となる．質量 M の重力を F としたときのばねにかかる力 Fs は，力のつりあいより L F = F = βF s l （３）となる．同様に質量 M に力?F を加えたとき，ばね部分にかかる力の増分?Fs は， L ∆F = ∆F = β ∆F s l （４）となる．この式より，ばねにかかる荷重は図１の荷重に比べ拡大率β倍だけ大きくなっている．したがって，ばねの素線の許容せん断応力を図 1 と同じと考えれば，強度の面から 3 ばね定数ｋは Fs F =β = βk Xk Xk k= （５）で表され，拡大していない場合と比べると拡大率βの分だけばね定数ｋを大きく取る必要がある．ばねの微小変位?Xｋは ∆X k = ∆Fs ∆F =β k k （６）となる．したがって質量部分の微小変位?Xｍは， ∆X m = β∆X = β 2 ∆F k （７）であるので，質量部分での等価なばね定数 K は， K= ∆F 1 = k ∆X β 2 （８）となる．上式より質量位置での等価なばね定数は，ばね単体のばね定数の１/２β になることが分かる．また，式（８）に式（５）を代入すると K= 1 k β （９）となる．上式は拡大機構を用いる事により質量部分の仮想ばね定数は，単純支持構造動吸振器のばね定数の１/βになることを示している．このことより固有振動数は，単純支持構造動吸振器の固有振動数の１/ β となることが分かる．以下では，これを応用した変位拡大型動吸振器のモデルを説明する． 4 ２．２変位拡大機構動吸振器ｋ1 Mg Mg C ｋ2 B1 B2 図２-３変移拡大型動吸振器図２-３が本研究で用いる変移拡大型動吸振器のモデルである．梁 2 本を X 型に交差させ，自重は水平に取り付けた 2 本の線材（棒ばね）で支える構造となっている．この構造を用いれば力のつりあいは矢印のようになり，可動部分には質量程度の力はかかると思われるが拡大効果による大きな張力はかからない．以下，この構造の系全体のばね定数を考える． 5 F X x Y F+ΔF K1 Δy T1 ΔY Δｘ y C ΔX l L T2 K2 F 図２-４１／２モデル構造全体の上下方向のばね定数は，非線形であるので釣り合い状態からの微小変位を考えて計算する．また，構造物の対称性を考慮して 1/2 モデルで考える．まず，外力 F と T1，T2 が釣り合っている状態で l 2 = x2 + y2 (10) L2 = X 2 + Y 2 (11) α= L l = Y y = X x (12) β= x y = X Y (13) T = T1 + T2 (14) と置き，支点である C 点周りのモーメントのつりあいより T1 y + T2 y = 2 FX (15) となる．したがって 6 (T1 + T2 ) y = Ty = 2FX = 2 Fxα (16) まとめると T = 2αβF (17) となる．次に F から力が微小量増加し F＋ΔF となった場合に，x は x＋Δx，y は y＋Δy， X は X＋ΔX，Y は Y−ΔY となるとする．式（10）と同様に l 2 = ( x + ∆x) 2 + ( y − ∆y ) 2 (18）式（10）（18）より x 2 + y 2 = x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 + y 2 − 2 y∆y + ∆y 2 (19）微小項の 2 乗であるΔx２，Δy２は他の項よりも十分小さいので省略すると 2 x∆ x − 2 y∆ y = 0 （20）となる．したがって式（12），（13）より，また α = ∆Y ∆y でもあるので ∆x = ( y x)∆y = ∆y β = ∆Y (αβ ) （21）また支点の C 点周りのモーメントのつりあいより (T1 + ∆T1 + T2 + ∆T2 )( y − ∆y ) = 2( F + ∆F )( X + ∆X ) （22）微小量の 2 乗の項を省略し，式（15）の関係を用いれば (∆T1 + ∆T2 ) y − T∆y = 2( F∆X + ∆FX ) (∆T1 + ∆T2 ) y − T∆ Y α = 2(F∆ Y β + X∆F ) （23） (24）したがって整理すれば 2 X∆F = (∆T1 + ∆T2 ) y − T∆Y α − 2 F∆Y β （25）となる．一方線材においては式（21）より ∆T1 = K1 ∆x = K1 ∆Y (αβ ) （26） ∆T2 = K 2 ∆x = K 2 ∆Y (αβ ) （27）であるので，それらおよび式（17）の関係を代入すると 2 X∆F = (K1 + K 2 ) y∆Y (αβ ) − 2αβF∆Y α − 2 F∆Y β 7 （28）ばね定数の形にするために２ＸΔＹで割れば ∆F ∆Y = (K1 + K 2 ) y (2 Xαβ ) − 2αβF 2 Xα − F Xβ （29）となり，したがって ( ) ∆F ∆Y = (K1 + K 2 ) y 2α 2 β 2 − βF X − F ( Xβ ) （30）となる．上下の変形を考慮し ∆V = 2∆Y を用いれば ( ) ∆F ∆V = ∆F (2∆Y ) = (K 1 + K 2 ) 4α 2 β 2 − β F (2 X ) − F (2 Xβ ) （31）となる．ここで用いたのは１／２モデルなので，左右を考慮し P = 2 F とすれば全体系のばね定 ~ 数K は ( ) ~ K = ∆P ∆V = (K1 + K 2 ) 2α 2 β 2 − β F X − F ( Xβ ) （32）つまり拡大率が大きくなれば第１項は正で小さくなり，第 2 項は負の幾何剛性で拡大率が大きくなれば負の値で大きくなる．したがって，β(拡大率)を大きくすれば，式(17)に示すように張力が拡大率に比例して大きくなるが，式(32)より，構造全体の上下方向のばね定数は，拡大率の１乗に逆比例で小さくなるという特性に加えて，負の幾何剛性があるため，低固有振動数の実現に適している． 8 ２．３変移拡大型動吸振器の摩擦による減衰図２-３で示す構造を用いれば，振動中でも摺動部には大きい力が発生しないので摩擦による大きい減衰力は発生しない．一方，動吸振器の設計という立場からは，適切な大きさの線形減衰が必要であるが，緒言でも述べたように摩擦による減衰は非線形であり，かつ振幅が大きくなるほど減衰特性が低下するので，動吸振器の減衰にはあまり適していない．以下，摩擦による減衰の非線形性を改善し線形減衰と等価なものが得られる構造を理論から示す．まず，図２-３のモデルから，系を支える線材が下側の１本のみしか存在しない場合を考える．このような構造であれば，自重が静的に加わった時，点Ｃには形を維持するために大きい力が働く．大きい力が摺動部に加わっている状態で振動により摺動部が動けば，大きい摩擦力が発生する．摩擦力変位図２-５変位―摩擦力線図（摩擦力一定）このような静的な摩擦力が振動による摩擦力と比べて大きい場合には，図２-５のように振動中も摩擦力はほぼ一定と考えられる．一サイクル中の消散エネルギ DF は，質量の位置での変位振幅を X ，摺動部の相対変位を X r とすれば，図２-５より DF = 4 X r Fr = 4 XF (33) となる．質量位置での等価粘性減衰を CE とすれば，それによる１サイクル当たりの消散エネルギ DV は DV = πω CE X 2 (34) となり，したがって， DF = DV と考えれば，等価な粘性減衰は， 9 CE = 4 F /(π X ) (35) となり，振幅が大きくなるにしたがって等価な粘性減衰は小さくなっていく．動吸振器において振幅が大きいところで減衰が減少すれば，動吸振器の振幅がますます大きくなり，ばねが強度面で非常に問題となる．したがってこのような減衰特性は動吸振器にとって，望ましい特性であるとは考えにくい．摩擦力変位図２-６変位―摩擦力線図（変位に摩擦力が比例）そこで，摩擦力ではあっても，図２-６のようにその大きさが，変位に比例するような構造にすれば，一周期あたりの消散エネルギは変位の２乗に比例するので線形の粘性減衰と等価とすることは可能である． ρ を定数として，質量位置での等価な摩擦力の絶対値 F が F=ρ x (36) で表現されるような力であればよいと考えられる．質量位置での変位振幅を X ，このような力による１サイクル当たりの消散エネルギ DF とすれば DF = 2 ρ X 2 (37) となり，式(34)の DV と等しいとすれば CE = 2 ρ /(πω ) (38) となる．したがって， ω の関数ではあるが，振幅には影響されない．このような ω に逆比例する形は，損失係数で表現される複素剛性によるヒステリシス減衰と同じ形である．このような特性を実現するためには，摺動部に加わる法線力が変位に比例するように設定すればよい．そこで，外観は図２-２と同じ構造で，自重により発生する２つの線材のばね 10 力は等しくなるように設定する．したがって静止時には，点Cにおける法線力はゼロである．ここで図２-２の状態とは違って，２つの線材のばね定数を等しくせずに少しずらすことを考える．すなわち k1 ≠ k2 (39) であるとする．梁の剛性は，線材のそれと比べて十分剛であるとすれば，自重による釣り合い位置からの線材の伸びは２つのばねで共通であるので，それを δ とすると，水平方向の釣り合いより，C部では， PA = (k1 − k2 )δ (40) で表現される水平力が発生する．したがって，摺動方向の反対向きに，その絶対値が次式の Fr で表現される摩擦力が発生する． Fr = µ ( k1 − k 2 )δ (41) 質量部上下方向の等価な F と Fr の間には，比例関係があるので，それを仮に F = α Fr (42) と表現し，質量部分の上下方向の変位 x とたわみ δ の間には x = 2 βδ (43) なる関係が存在するので，整理すると F = α Fr = αµ ( k1 − k 2 ) x /(2 β ) = {αµ /(2 β )} (k1 − k2 ) x (44) で表現され，これが速度と反対方向に働く．これは式(37)と同形であり，図２-６のような特性を有する摩擦力である．等価粘性減衰係数 CE は CE = αµ k1 − k2 /(πβω ) (45) となる．ここで注目すべき点は， k1 − k2 が係数に含まれていることである．構造の形は与えられていたとしても，線材の k1 ， k2 の選定の仕方で，減衰係数を自由に調整することができることになる． 11 ３．非線形動解析結果と実機での実験との比較３．１実験の概要これまでの実験から，X 型動吸振器の摺動部での摩擦力を上下の線材ばねのばね定数の調節によって線形減衰と等価にすることが可能であることが分かっている．本節の実験はその線形減衰の最適化をこれまで実験に用いてきた図の変移拡大型動吸振器ではなく，機構解析ソフトの DADS を用いて動解析によって調べることとした．これまで実験に用いてきた動吸振器は，棒材の初期角度による振動の違い等様々な実験を行うことを想定していたため，形状が X 型動吸振器のモデルで考えていたものと違ってきている．他にも C 点以外のジョイント部にも微小な摩擦は生じているはずであり，これらが実機での測定実験に与える影響は未知である．この実験をさらに理想的な状態の下で行い理論の検証を行うことが，DADS を利用する意図である．実験は，実機の動吸振器と同一のモデルで解析を行い動解析からも似通った理論から導かれるとおりの減衰が観察できるかの確認を行う． 12 ３．２実機と同一のモデル図３-１拡大機構を有する動吸振器図３-２変移拡大型動吸振器の DADS モデル 13 図３-２が図３-１の実機を模して作成したモデルである．Pro/Engineer によりモデルの部品形状作成を行い，DADS に取り込んだ後各部品同士の結合，関節の作成，ばね要素・摩擦要素の取り付けを行った．各ジョイント部の摩擦係数は，理想的な状態を考え，C 点以外は回転・並進共に全て０としてある．これにより，実機での測定結果より減衰の特徴が強調された結果が現れるはずである．また C 点での摩擦係数は 0.2 とした．鍼の初期角度は 15 度，30 度，45 度と変更が出来るが，あまり角度を大きくするとシミュレーションとの誤差が大きくなる可能性があるので，最も小さい角度の 15 度で解析を行うこととした．３．３解析条件実験１下側の棒ばねのみ線材：チタン合金直径 1.5[mm] (等価なバネ定数：737981[N/m]) 実験２上下に同じ棒ばね線材：チタン合金直径 1.5[mm] 実験３上下の線材のばね定数が異なる場合線材上部：SUS304 Φ1.5[mm] K=1265k[N/m] (等価なバネ定数：1333783 [N/m]) 下部：チタン合金 Φ1.5[mm] K=700k[N/m] 14 ３．４解析結果実験１図３-３実験１解析結果 1.5 1 加速度 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 1 図３-４ 2 3 時間 [s] 実験１実機での測定結果解析結果・実機の測定結果共に直線的な減衰を示している．これは摩擦特有の減衰であり，構造物の制振等に利用するには向いていない． 15 実験２図３-５実験２解析結果 1.5 1 加速度 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 1 図３-６ 2 3 時間 [s] 実験２実機での測定結果実機での結果も減衰が少ない傾向を見せていたが，解析結果は減衰が極端に少ない結果となった．これは張力が棒ばねで釣り合い，摺動部に法線力がかからなかった為と思われるが，理想状態を考え，C 点以外の摩擦力を無くした事による影響も大きい．しかしながら理想状態では C 点での摩擦が無くなり，減衰が起こらない結果となることが予想されていた． 16 図３‐７モデルの非対称性これは図３-７に示すような，モデルの非対称性が原因と考えられる．構造上 X 型梁と上下梁で左右に向かって右側の上下の梁が長くしてある，上部の梁に分布加重をかけると，右側の方が大きく振動する．これにより C 点に僅かな法線力がかかり，一定の摩擦が発生したと思われる．この摩擦は理想状態ではない実機では，解析より大きくなると思われる．この問題を軽減することも実用化を行う場合の課題の１つである． 17 実験３図３-８実験３解析結果 1.5 1 加速度 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 1 図３-９ 2 3 時間 [s] 実験３実機での測定結果実機の測定結果では実験１，２の結果と比べ線形減衰の傾向を示しているが，解析結果では非線形な減衰となっている．これは実験条件で上下棒ばねのばね定数に差を付けた為によるものと思われる．ばね定数に変化を付けた場合，下図３-１０のようにばね定数の大き 18 な棒ばねにはもう一方より大きな張力が静止時に働くことになる．これにより３章で示した式に適合した結果が得られなかったと思われる．図３-１０棒ばねにかかる張力 19 4．上下棒ばねの張力を一定とした解析 3 章で行った解析で線形な減衰が得られなかった理由として，2 本の棒ばねの張力が等しくなっていなかったことが考えられる．そこでばね定数の大きい棒ばねは本来より少し短いものを用い，初期状態で少し伸ばしてあるものとして，等しい張力がかかっている状態を作ることにする．逆にどちらかを縮めた状態は，実機で実現することが難しいと思われるので，省略する．４．１解析条件線材上部：ステンレス（SUS304）直径 0.9 [mm] 長さ 273.6[mm] (等価なバネ定数：480162[N/m]) 下部：チタン合金直径 1.5[mm] 長さ 275[mm] ここで，上部線材は下部より短いものを伸ばして固定してある状態である．273.6[mm]という値は長さが一定である場合から 0.1[mm]ずつ短くしていき，動解析を行って内部の張力を観察する，といった方法で求めた．４．２解析結果図４-１張力一定下での解析結果上図４-１のように，これまでの実験結果に比べて明らかに線形性のある減衰となった．このときの棒ばねにかかる張力を調べたものが，下図４-２であり，また上部棒ばねの張力から下部棒ばねの張力を引いたグラフが下図４-３である． 20 図図４-２図４-３棒ばねにかかる張力上部棒ばねにかかる張力−下部棒ばねにかかる張力この２つの図から，ばね定数に差をつけ，かつ張力を一定にしたとき，その張力の差に酷似した線形減衰が現れる事が分かる．しかし線材ばねを伸ばした状態で固定する，といった方法は，その線材の種類にもよるが許容できる範囲があまり大きくはないため，解析を用いて設計を行う時にはそれを念頭に置き，無闇にばね定数の差を大きくしたり，線材ばねを長く伸ばして張力を合わせたりしないよう，注意する必要がある．最後に，この解析を様々な条件下で試み，最も線形減衰に近かった結果を下図４-４に示す． 21 図４-４ SUS304 直径 1.5[mm] 長さ 272.3[mm], SUS304 直径 0.9[mm] 長さ 275[mm] 22 ５．結言以上のシミュレーション結果から振動により発生するばね力に比例して摩擦が発生するような構造を利用することにより，摩擦による減衰の線形化が可能であることと，非線形動解析がその最適モデルの構築に有効であることを示した．しかし実機で摺動部やその他の関節部の摩擦係数を測定することが困難なことから，解析で求めた固有振動数や変位などが正確とは考えにくい．よって今の段階では，この解析方法からは減衰の傾向を掴むことが可能といった結論にとどまった．しかし逆にこの理想状態の解析結果と実機の実験結果を照らし合わせて理論を構築することで，実機の各関節部の摩擦係数を求めるといった利用方法が考えられる．６．謝辞本研究を行うにあたり，ご指導を賜りました井上喜雄教授，芝田京子講師に深く感謝いたします．また Pro/E モデル作成に協力していただいた玉井聡志氏，解析に関してご教授いただいた山崎陽平氏，並びに本研究に関わった多くの方々にも深く感謝致します． 23 参考文献（１）井上喜雄，甲斐義弘拡大機構を用いた上下方向動吸振器に関する研究（２）井上喜雄他４名，機講論 No.00-6，2000，353．（３）日高照晃他６名著機械力学（４）日本機械学会金属材料の弾性係数（５）サイバーネット HP http://www.cybernet.co.jp/ 24