有限増分定理とその周辺鈴木範男 2014 年 7 月 4 日 f = 0 ⇒ f = 定数 1 これは次の定理の特別な場合である。（m = M = 0 の場合にあたる。）有限増分定理 2 f (x) が a, b を含むある開区間で微分可能として m ≤ f (x) ≤ M (a ≤ x ≤ b) とすると、 m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a) (1) が成り立つ。 2.1 積分を使う素直な証明 f (x) が積分可能ならば積分の単調性から b m(b − a) = b mdx ≤ a b f (x)dx ≤ a M dx = M (b − a) a 更に f (x) の連続性を仮定すれば微積分学の基本定理により b f (x)dx = f (b) − f (a) a なので (1) を得る。この証明は大変よろしいが「f = 0 ⇒ f = 定数」を微積分学の基本定理の証明に使うときは循環論法になってしまうので、積分を使わない証明もつけておきたい。 1 2.2 平均値の定理を使う証明平均値の定理によれば f (b) − f (a) = f (c) かつ a < c < b b−a なる実数 c が存在するが m ≤ f (c) ≤ M なので (1) が出るが、平均値の定理と de l’Hˆopital の定理は教育上よくないと思うので、違う証明を考えたいところ。 2.3 背理法による証明 f (b) − f (a) > M (b − a) と仮定する。このとき、を選び f (b) − f (a) > α > M なる α b−a F (x) = f (x) − f (a) − α(x − a) とおくと F (x) = f (x) − α ≤ M − α < 0 F (a) = 0 また α の取り方から F (b) = f (b) − f (a) − α(b − a) > 0 となる。そこで F (x) > 0 なる x の下限 c = inf{x ∈ [a, b]|F (x) > 0} を取ると、下限の定義により a ≤ x < c で F (x) ≤ 0 であるので c = a なら F (x) の連続性により F (c) ≤ 0 であり、c = a のときは F (c) = F (a) = 0 であるからいずれにせよ F (c) ≤ 0 である。このとき微分係数の定義により lim x→c F (x) − F (c) − F (c) x−c =0 であるので任意の正の数 ε に体して F (x) − F (c) − F (c) < ε x−c F (x) − F (c) ⇔ F (c) − ε < < F (c) + ε x−c c<x<d⇒ となる d が取れる。F (c) < 0 であるから F (c) + ε < 0 となるように取れば（例え 1 ば ε = (−F (c)) とすればよろしい） 2 c < x < d ⇒ F (x) − F (c) < 0 ⇒ F (x) < F (c) ≤ 0 ⇒ F (x) < 0 となるような d が取れる。これは c の取り方に矛盾する。 2