赤阪 正 純 (htt“
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連 立漸化式 の解 き方
“
2_6′
(`-1)(ι
に
a惚
い
三靭 比 η ℃
一ι
(1){α η
tt bπ },{3α η
η
}の 一般項を求めよ
(2)(1)の 結果を用いて,{α η
},{妨 }の 一般
項を求めよ
-5)=0
み タラ
キ
ッ
∼
αη+場
=の
⑤ よ り,α が 1-α η=Oπ とお くと,ε η+1=5ο ″
列 なので
0″
とお くと,
bη )
%.1=5%
=01521=(α l+う 1)521=8・ 5″
③
の +場 =8・ 5η l ¨
,
1
1=(α 2 α l)5η l=(10-2)5″ 1=8・ 5π
⑤
′
く
3て 3tマ 感
′
⑥ より
,
απ
+1-― α
π == 8・ 52 1
αη
+1-5α η - 0
.1-賜 +1=3α π― 妨
4α η
3α π
3%― わη=α ηとお くと,α η+1=α η
よって,数 列 {ご 2}は 定数列なので
,
αη=α l=3α l― わ1=0
=
8・
1
5η
θ
1
αη=2・
5η
ひ
よつて,α η
+1=2・
なので
5れ
うη=α π
+1-2α
￨∼
,
77
1)
=0… ④
=2・ 52-2(2・ 5π
1-4・
57.-1
=10・ 5η
(2)
=6・
より
1
5η
,
4α π=8・ 5π
l
αη=2・
1
5η
③ ×3-④ より
,
4bη
l …⑤′
5η
グη=α l=α 2 5α l=10-10=0
′
απ
⑥
+1 5α η=O
1
,
+④
,初 項 οl,公 比 5の 等比数
,
① ×3-② より
③
"}は
⑥ より,の +1-5%=α ηとおくと,α η
+1=αη
よって,数 列{∂ η
}は 定数列なので
,
3α 2-bη
{ο
α
π
+1-α π=8・
,
よって,数 列 {ι η}は ,初 項 οl,公 比 5の 等比数
列 なので
よって ′=1,5)
協II織 1]蹴 12)18
より
αη
+1+ι η+1=5α ″+5う れ=5(α ηtt
,
,
οη=ο 152
1ま
り
漸化式 よ り
よつて ,数 列
考え方 とりあえず指示通 りに式を組み合わせて
(1)① +②
+5=0よ
(特 性方程式 ι
(3)
=24・
5η
l
ιπ=6・ 52 1
ま 些ζ
ら
な4誕 ?雪ξ
よ Ψ '野
,2:ユ
;:Ξ
1｀
′
珍 注 特性方程式が ′=1を 解 にもつ ので,⑥ か
″注
皿
解法 ②
でも解 いてみましょう
① より,磁 =α η
+1-2α π
よって,う 4+1=ら +2 2α η
+1
これ らを ② に代入す ると
,
αη
+2
2α が 1=3α η+4(α η.1-2α η)
αη
+2
雑 17t
6α π+1+5α ″=0
S,員 Pan鶏
じ
式ぜ
r TyP`Э
“
らいきなり物 を求めてもかまいません({α π
}は 単
な る等 比数 列 で す し)当 然 ⑤ は不要 にな ります
今 回 もや は り,式 の組合せ に よる最初 の解 法 の 方
が簡単 だ と思 い ます
合 は, 解 法 ②
組 み合 わせ 方 が分 か らない場
で解 くこ とにな ります が ち ょっ と
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赤阪 正 純 (httpン フ
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連立漸化式の解き方 (4)
・ 32 1
αη=3η ― η
けけL擁 剪観
″娼
よって ,ι η=32-α η=π・3れ
1
■
(1)(%+ι η}の 一般項を求めよ
(2)(1)の 結果を用いて,{α ″
},{bη )の 一般
項 を求めよ
考え方
例題
2
と違 って,組 み合わせ方が
1通 りしか指示されていませんね
なぜ だ
なぜで しよ
側田 ① より,ι 2=2α η一αη
+1.
よって,ι η
.1=2α η+1-α η+2
これ らを ② に代入する と
,
うか ?
+1-α η+2=α π+4(2%-2α π+1)
2α η
①
(1)① +②
∴α
η
■
2 6α η
+1+9α η=0-'期
より
,
α2■ 1+わη
+1=3ら +3場 =3(α η+わ η)
よって ,数 列
列 なので
(特 性方程式
)は ,初 項 οl,公 比 3の 等比数
{ο η
οη=ο 13η
l+♭ 1)3η
32■
1 丁
よって,数 列
差数列なので
7「
α″
`=3(重
ノ
卯♀ン
￨
解 ))
%+2 3α η.1=3(α η+1-3α ″)
よって ,数 列
,
ニ
働ィ iftD
〔
l,テ
__
,
よって ,%+1-3α 2=ο ″ とお くと,ι η+1=3ο π
よって ,う η=3η ― α2と して ① に代 入 して
α″+1
り
無ミ
,
l=(2+1)321=3η
α
ηtt bη =♂ …③
:￨￨￨二 ::￨三 :チ
ょって
漸化式 より
,
1=(α
+9=0よ
`2_6′
(`-3)2=0
αη+場 =ο れとおくと,ο π
+1=30″
3
で も解 いて み ま し ょう
解法 ②
か特性 方程 式 が重 解 をも つ こ とにな ります
と りあえず指示通 りに式 を組み合わせ
てみます
″注
)ス
1
丁
{争 }は ,初 項 :二
列 なので
c=ο
{%}は ,初 項 εl,公 比 3の 等比数
,
13η
l=(α
2 3α l)32
1=(3-6)32 1=-3η
%+1-3α 2==-3η
ヽ
?
フし
ッ
‐
おんソι
ゃ
αη
+1 -3α η-3η
公差 一
:の 等
,
(以 下 ,最 初 の
診注
=U「 +(π 1)(一 :)=1-=
Oの
(※ )と 同 じなので 省 略 )
途 中 で α2が 登場 します が ,こ れ は漸 化 式
つ ま り,α 2=2α l― う1=3
か ら自分で求 め ます
断1慶 」
環
設 舞 ″izマ
r・
検証
.
:電
F力
3つ の連立漸化式を紹介 しましたが,そ れぞれの解法を検証 してみよう
例題
1
はナナメの係数 が等 しいので和 と差 を考 えました
これは何 とな くわか りますね
2
四
3は ナナメの係数が異なる場合 ですが,匝醒□ 2で ,な ぜ ,{%+bη }や {3の 一 bη }な どと
組合せたので しようか.解 法 ② で解いた場合 ,匝 酷□ 1と 匝 彊副 2は 特性方程式が 2つ の解 をもち
例 題 3は 特性方程式が重解で した このことと 匝 法 国 の組み合わせ方 と何 らかの関係 があるので
と
例題
はないで しょうか 特性方程式が解 1を もつこ とも何か意味があ りそ うです
.
まあでも, とりあえず ,な ん とか解 くことがで きたか ら,こ れにて一件落着 としましょうかね ¨…
しか
し,こ れ まで と同様 に,「 なぜ その ようにす るのかJに こだわ ってその仕組みを解明 したい と思い ます
の理 由柳
りたい人 に 次回 は配布す る犬プ リ 囀
漸化式 のヒミ列
そ
をお読み くださ‐
ク
源 援
l鴇
か…
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