( )ab

第２講行列（ⅱ）
【問題 1】
A=
7
(ac db ) が A - 5A + 6E = O を満たすとき， a + d, ad - bc の値を求めよ．
2
数学Ｃ
【問題 2】
（A）次の行列に逆行列があれば，それを求めよ．
cosq - sin q
t t+2
（2） (
(sin
q cosq )
t + 1 -t )
a +1 a + 3
（B）行列 A = (
( a は定数)が逆行列をもたないとき， a の値を定めよ．
a + 7 a + 5)
（1）
8
【問題 3】
次の行列 A，B について，AX = B を満たす行列 X を求めよ．
A=
9
(13 52)，B = ( -31 -21)
【問題 4】
行列 A が A
10
(11) = (32) , A (11) = (34 ) を,満たすとき， A を求めよ．
2
第２講行列（ⅱ）解答
数学Ｃ
【問題 1】
A=
(ac db ) が A - 5A + 6E = O を満たすとき， a + d, ad - bc の値を求めよ．
2
A 2 - 5 A + 6E = O
…① とする．行列 A =
(ac db ) について一般に，
A 2 - ( a + d ) A + ( ad - bc )E = O
が成り立つ．
よって， A 2 = ( a + d ) A - ( ad - bc )E として①に代入して整理すると，
( a + d - 5) A = ( ad - bc - 6)E
（ⅰ） a + d - 5 = 0 のとき， ad - bc - 6 = 0
\ a + d = 5, ad - bc = 6
（ⅱ） a + d - 5 ¹ 0 のとき，両辺を a + d - 5 で割ると
A = ad - bc - 6 E よって， A = kE とおくと，①より
a +d -5
( kE )2 - 5kE + 6E = ( k 2 - 5k + 6)E = O
E ¹ O より， k 2 - 5k + 6 = 0 を解くと， k = 2, 3
2 0
3 0
\ A=
,
0 2
0 3
( )( )
このとき， (a + d, ad - bc) = (4, 4), (6, 9)
11
【問題 2】
（A）次の行列に逆行列があれば，それを求めよ．
cosq - sin q
t t+2
（2） (
(sin
q cosq )
t + 1 -t )
a +1 a + 3
（B）行列 A = (
( a は定数)が逆行列をもたないとき， a の値を定めよ．
a + 7 a + 5)
（1）
（A）（1） D = cosq cosq - ( - sin q )sin q = cos2q + sin2q = 1
より逆行列は存在する．
-1
cos q - sin q
cos q sin q
\
= 1
sin q cos q
det - sin q cos q
cosq sinq
=
- sinq cosq
(
)
(
(
)
)
{( ) }
2
（2） D = t( -t ) - (t + 2)(t + 1) = -2 t + 3 + 7 ¹ 0
4
16
より逆行列は存在するので
(
t t+2
t + 1 -t
) = -2t -13t - 2 ( -(t-+t 1) -(t t+ 2))
t t+2
1
=
2t + 3t + 2 ( t + 1 -t )
-1
2
2
（B）行列 A が逆行列をもたないとき，det A = 0 であるから
det A = ( a + 1)( a + 5) - ( a + 3)( a + 7)
= -4a - 16 = 0 \ a = -4
12
【問題 3】
次の行列 A，B について，AX = B を満たす行列 X を求めよ．
A=
(13 52)，B = ( -31 -21)
det A = 1 × 5 - 2 × 3 = -1 より A -1 は存在する．
-5 2
で， AX = B から X = A -1 B より
A -1 =
3 -1
-17 12
-5 2 3 -2
X = A -1 B =
=
10 -7
3 -1 -1 1
(
13
(
)
)(
) (
)
【問題 4】
行列 A が A
(11) = (32) , A (11) = (34 ) を,満たすとき， A を求めよ．
2
(11) = (34 ) より， A × A (11) = (34 )
2
3
1 2
2 3
\ A( ) = ( ) \ A(
=
3
4
1 3 ) (3 4 )
2 3 1 2
3 -1
\ A =(
=(
3 4 )(1 3 )
5 -2 )
A2
-1
14

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