直流回路と交流回路

電気回路Ⅱ 演習特別編
（波動）
•三角関数と波動について
•波をどう考えるか？
•波動関数
•真空中を伝搬する電磁波に関して（光学）
•分布定数回路を伝搬する電圧及び電流（電気工学）
•（追加）自由空間を伝搬する電磁波
•フレネル－キルヒホッフの公式
•フーリエ変換と畳み込み積分を用いた解析方法
１．三角関数と波動について
1.1 三角関数の定義

sin，cos，tanの定義
a
sin( ) 
c
c

b
a
b
cos(  ) 
c
sin( ) a
tan( ) 

cos( ) b
1.2 三角関数と位相
f (t )  A sin(t   )
A ：振幅
ω：角周波数
θ：初期位相
振幅
tで時間的に位相が変化している
振幅（波の大きさ）
f (t )  A sin(t   )
A
t0
A

初期位相

0
0

位相
2
3
4
5
t
1.3 波の関数と位相（時間に関して）


sin  t という波を考える．
sin  t は，1秒に位相がωだけ変化する波．


ここでωは，角周波数と呼ばれる．
位相が2π変化すると一つの波が終了する．

周波数 f はどのように求められるか？

f 
2
→1秒間に何回振動するか．
1秒にωだけ位相が変化するので2πで割ればよい
1.4 波の関数と位相（空間に関して）

時間的に振動するだけでなく，空間的にも波が観測され
る．（海を写真でとると，波が写るよね？）

では，今度は時間 t ではなく空間座標，たとえばz方向に対して波
を考える
sin kz はzに対して波の形状となる.
同様に
sin kz
もzに対して波の形状となる．なぜ符合をマイナス
にしたのかは後ほど説明する．
ここでkは，波数と呼ばれる．
位相が2π変化すると一つの波が終了する．
波長λはどのように求められるか？
k

2
→単位距離にkだけ位相が変化するので2πで割ればよい
波動とは？


波動とは漢字のとおり，動く波を表す．
海の波を考えよう．波は沖から陸のほうへ進んでいるよね？
空間での波の形状
波の進行方向
赤が時刻 t=0での波の状態
青が時刻 t=⊿tでの波の状態
時間
空間
A君の観測位置：決まった位置で立っていると，時間的に水位が変化する．
時間的に水位が振動する関数（波の関数）となる
B君は，写真で波を観察した．時刻t=0で観測した場合，空間的に水位が変化している
時間的にも，空間的にも振動しているものを波動という
時間及び空間的に振動する波

波動は時間的空間的に振動する波．よって次のような
ここの符号は，波の進行方向を表す．詳しくは後ほど
式で与えられる．
f (t , z)  sint  kz 
進行波を表す
←時間が変化しても，空間が変化しても
振動する関数となっている．
波の進行方向
赤が時刻 t=0での波の状態
青が時刻 t=⊿tでの波の状態
赤丸と青丸で印したところについて，位相が同じ値になるところを示している．
赤丸はt=t0で位置がz=z0とし，青丸はt=t0+⊿tで位置がz=z0+⊿zとする．位相は同じだから
t0  kz0   (t0  t )  k ( z0  z )
波の位相速度は
v  z / t  z / t   / k
位相速度の求め方別な解法
波の進行方向
観測者
静止する観測者が1秒間に観測する波を数を考えよう．
１．まずは1秒間に何回波が観測されるか・・・・・これはそのまま周波数と考えてよいね
f   / 2
2．つぎに，上の図より波の形状が変わらず進行しているので，観測者の立っている位
置をいくつの波が通過するかを考えよう．1秒間に波はvだけ進む．波長はλだから
f  v /   vk / 2
１と２より
 /   vk / 2
v /k
波の進行方向について

進行方向について

１． f (t , z )  sin t  kz

v /k  0
速度が正の値
進行波

２． f (t , z )  sin t  kz

v   / k  0
速度が負の値
逆方向に進行波
複素表示

複素数表示を使うことが多い
進行波
f (t , z ) | A | sint  kz   
f (t , z )  Ae
j t  kz 
A | A | e
逆進行波
or反射波
j
f (t , z ) | A | sint  kz   
f (t , z )  Ae
j t  kz 
A | A | e
j
波動方程式



波動は，時間的にも空間的にも振動する波であることは
すでに述べた．
様々な現象を微分方程式を用いてあらわすことが多い．
波動を表す微分方程式は，時間及び空間の2回微分が
以下の関係式を満足する

2 
f (t, z)  C 2 f (t , z) Cは定数
2
t
 z
2

j t  kz 
を代入すると C 2 
となる．
f (t , z )  Ae
2
2
2
k
つまり， C


k
f (t , z)  Ae
j t  kz 
 Be
j t  kz 

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