物性物理学序論

波数ベクトルの説明
３次元の波
k
exp(i(k r  t ))
波数ベクトル
波が進む方向を表す
問題
２次元空間(x,y)において、
波
sin(k r  t ) の波数ベクトル

がx方向であるとする。
k
k  (k ,0)
この時の波を図示せよ。
ヒント：ある時間での波の形を、
いろいろな場所で図示してみるとよい。
1
縦波と横波
縦波：longitudinal wave
波の進行方向と変位の方向が「平行」
横波: transverse wave
波の進行方向と変位の方向が「垂直」
電磁波は横波。
気体中、液体中の音波：
縦波のみ伝える。
横波はすぐ消えてしまう。（平衡位置がない、流れてしまう。）
固体中の音波：縦波と横波の両方を伝える。
（横方向のずれに関しても復元力を示す。
2
格子の振動（古典論）
a:バネの自然長
M
K: バネの強さ
大文字のK
uj
j番目の原子の変位
問１：j番目の原子に関する運動方程式を書け。
問２：uj=uexp[i(kaj-ωt)]を運動方程式に代入して、
ωとkの関係式（分散関係と言う）を求めよ。
またグラフに書け。
問３：周期的境界条件 uj+N=uj が全てのjについて
成立するとき、kはどのような値をとるか？
3
格子の振動（古典論）解答
M
K: バネの強さ uj
j番目の原子の変位
問１：j番目の原子に関する運動方程式
M
d 2u j
dt 2
 K (u j 1  u j )  K (u j  u j 1 )
問２：uj=uexp[i(kaj-ωt)]を運動方程式に代入して、
ωとkの関係式（分散関係と言う）を求めよ。
 M 2  K (e ika  e ika  2)  2 K (coska  1)  2 K sin 2
ka
2
4K
ka
分散関係：ω(k)
sin 2
M
2
グラフは次のページ ikaN
e
 1,
問３：周期的境界条件 uj+N=uj が全てのjについて
kaN  2n
成立するとき、kはどのような値をとるか？
2 
k
2n
aN
4
格子の振動（古典論）続き
uj=uexp[i(kaj-ωt)]は隣の原子の位相が、exp(ika)変化している。
したがって、kaの値で意味があるのは、-π<ka≦πの範囲。
周期的境界条件より、k=2πn/aNなので、nで言うと、
-N/2 < n ≦ N/2
n=0, ±１、... ±(N/2 –1) , N/2 の合計N個
ω
2
K
ka
 sin
M
2
-π/a<k≦π/a の範囲を
「第１ブリルアンゾーン」と言う。
-π/a
0
k
π/a
5

Download Report