大阪大学基礎工学部 2014 年度後期数学 C 講義ノート 10 フーリエ変換の応用：熱方程式の初期値問題次の熱方程式の初期値問題を考える．  2  ∂u (x, t) − ∂ u (x, t) = 0, t > 0, x ∈ R, ∂t ∂x2  u(x, 0) = f (x), x∈R (P) 第一式は熱方程式とよばれ，無限に長い針金における熱伝導を記述する一つのモデルである．u = u(x, t) は時刻 t，位置 x における温度を表す未知関数である．f = f (x) は時刻 0，位置 x における温度を表す関数で，初期データとよばれる．与えられた f (x) に対して，(P) を満たす u を求めることを，初期値問題 (P) を解くといい，u を (P) の解という．ここでは，フーリエ変換を用いて (P) を解いてみよう．(P) の第一式を x 変数についてフーリエ変換すると， [ ] ∫ ∞ ∂u 1 ∂u F (·, t) (ξ) = √ (x, t)e−ixξ dx ∂t 2π −∞ ∂t [ ] ∫ ∞ ∂ 1 −ixξ √ = u(x, t)e dx ∂t 2π −∞ ∂u ˆ = (ξ, t) ∂t および [ ] ∂2u F (·, t) (ξ) = −ξ 2 u ˆ(ξ, t) ∂x2 より，u ˆ(ξ, t) が満たす方程式は t に関する常微分方程式  ˆ  ∂u (ξ, t) + ξ 2 u ˆ(ξ, t) = 0, t > 0, ξ ∈ R, ∂t  u ˆ(ξ, 0) = fˆ(ξ), ξ∈R となる．この方程式を解くと， 2 u ˆ(ξ, t) = fˆ(ξ)e−ξ t を得る．従ってもとの u は ] [ 2 u(t, x) = F −1 [ˆ u(·, t)] (x) = F −1 fˆ(ξ)e−ξ t (x) となる． [ さて，F fˆ(ξ)e−ξ 2 t ] (x) を計算しよう．F[f ∗ g](ξ) = f ∗ g(x) = √ 2π fˆgˆ の両辺を逆フーリエ変換すると [ ] √ g (ξ) (x). 2πF −1 fˆ(ξ)ˆ ここで g = F −1 [e−ξ t ] とおくと， 2 [ 2 ] √ ] [ 2 f ∗ F −1 e−ξ t = 2πF −1 fˆ(ξ)e−ξ t . 1 ここで例 8.2 より， [ 2 ] [ ] x2 1 1 x2 F −1 e−ξ t (x) = F e−ξ2 t (x) = √ e− 4t = √ e− 4t . 2t 2t 従って， ) ] 1 − x2 4t √ u(x, t) = ∗ f (x) e 4πt ) ∫ ∞( 1 − (x−y)2 4t √ = e f (y)dy 4πt −∞ [( を得る．上の表示に現れる関数 1 − x2 G(x, t) = √ e 4t 4πt を熱核（ガウシアン）という． 2