常微分方程式論①

常微分方程式論①
MIKU 一回生
小川惇史・梶本智史
常微分方程式とは
• 独立変数ｘと未知関数ｙ(ｘ)およびその導関数
ｙ’(ｘ),ｙ”(ｘ),・・・・・, 𝑦 (𝑛) (ｘ)が満たす関係式
f(ｘ,ｙ’,ｙ,”・・・・・・,𝑦 (𝑛) )=0
のことを常微分方程式という
• 常微分方程式のうち、最も高階の導関数が
𝑦 (𝑛) のときｎ階常微分方程式という
微分方程式の解
• 微分方程式の解には任意定数Ｃをかけても
成立するものがあり、これを一般解という
• 一般解の任意定数に特定の数を割り当てた
解を特殊解という
• 一般解に含まれる任意定数では表現できな
い解が存在することもあり、特異解という
初期値問題
• ｎ階微分方程式 f(ｘ,ｙ’,ｙ,”・・・・・,𝑦 (𝑛) )=0
に定数α,𝛽0 , 𝛽1 ,・・・・・,𝛽𝑛−1 を与えて、
y(α)=𝛽0 , y’(α)=𝛽1 ,・・・・・, 𝑦 (𝑛−1) (α)=𝛽𝑛−1
を課したものを初期条件といい、これによっ
て解を見つける問題を初期値問題という
境界値問題
• 2階以上の微分方程式の場合、ｘのある区間
上で考え、その両端で課した条件を境界条件
といい、これによって解を見つける問題を境
界値問題という
• 2階微分方程式に対する境界条件について、
y(𝛼1 )=𝛽1 , y(𝛼2 )=𝛽2 ・・・・ディリクレ型
y’(𝛼1 )=𝛽1 , y’(𝛼2 )=𝛽2 ・・・・ノイマン型
y(𝛼1 )=y(𝛼2 ), y’(𝛼1 )=y‘(𝛼2 ) ・・・・周期型
という
正規形の微分方程式
• ｎ階微分方程式において、最高階の導関数
𝑦 (𝑛) について解いた形の微分方程式
𝑦 (𝑛) =f(ｘ,ｙ’,ｙ,”・・・・・・,𝑦 (𝑛−1) )
は正規形であるという
リプシッツ条件
• 正規形の１階微分方程式y’=f(x,y)について、
解y=φ(x)をx-y平面に投影したものを解曲線と
いう
• ある正の定数Ｌが存在し、
領域Ｄ={ 𝑥, 𝑦 ; |𝑥 − 𝛼| ≤ 𝑎, |𝑦 − 𝛽| ≤b}上の2
点(x,y)、(x,z)に対して
|f(x,y)-f(x,z)|≤Ｌ|y-z|
が成り立つことをリプシッツ条件という
コーシーの定理
• 関数 f は領域Ｄ上で連続で、かつリプシッツ
条件を満たすと仮定する。Ｄにおける|f(x,y)|
の最大値をＭとすると、
初期値問題 y’=f(x,y) , y(α)=β
の解が
|x-α| ≤ min {a,b/M}
に対して一意に存在する

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