デルタ関数と超関数

δ 関数と超関数
ゆきみ
http://yukimigo.com/
2015 年 4 月 3 日
某セミナーで話した内容です. (あたりまえですが)Schwartz 超関数 (distribution) の話
で, 怖いほうじゃないですよ, 念のため. かんたんにいうと位相を弱くして関数概念を拡張
するという話で, だいたい δ 関数を例にとりながらあんまり厳密な話はせずに入門しよう
というのがねらいです. なにかミスとかお前ここの記述おかしいんじゃねーのとかあった
らこっそり教えてください.
1 Introduction
量子力学の創設者のひとりとして有名な Paul Dirac は
{
δx0 (x) =
∞ x = x0 のとき
;
0 x=
̸ x0 のとき
という“関数”を考えた. しかし, δx0 (x) = 0
∫
∞
−∞
δx0 (x)dx = 1
a.e.x だから積分は
(x = x0 )
∫
(1)
δx0 = 0 となってし
まい, このような関数は Lebesgue 可測関数としては存在しない (von Neumann が指摘し
たそうです).
そういうわけでいまのところ数学としては問題があるけれども, 物理としてはこういう
“関数”(とりあえずこれを δ 関数といおう) を考えると見通しがよくなるという面がある.
それをお話としてちょっとだけ見てみよう.
⋆ 電磁気の話
一点 R ∈ R3 に置かれた電荷 e(∈ R) をもつ点電荷は空間の各点 x に電場
E(x) =
e(x − R)
4πε0 |x − R|3
1
(2)
をつくる (Coulomb の法則). ここで ε0 は真空の誘電率といわれる定数. ところで, 微分形
の Gauss の法則によると, q を電荷密度 (つまり
∫
divE(x) =
Ω
q = [Ω にある電荷の総量]) とすると,
q
ε0
(3)
である.(参考文献の電磁気の本参照)
点電荷の場合に計算すると divE(x) = 0 がわかる. もちろんこれは x ̸= R の場合で,
x = R で E = ∞ と考えると, q は上の δ 関数とみなせる:
{
q=
∞
0
x=R
;
x ̸= R
{
e R∈Ω
qdx =
0 R∈
̸ Ω
Ω
∫
(4)
もっというと e = 1 のときを考えるとそのまま上の形になる. つまり点電荷は δ 関数が
電荷密度であるような電荷の分布, とみなせる. ♡
ちなみに量子力学だと規格化として δ 関数を採用する, という形であらわれたりする
けどめんどくさいので書かないです. てきとうな本見ましょう. (たとえば江沢 [5] や清
水 [7])
2 準備
関数解析の事実をいくつかは証明なしで羅列します. なんにでも書いてあるしね. 参考
文献参照.
全体を通して Ω ⊂ Rn を開集合とする.
Definition 2.1 (Lp 関数). 1 ⩽ p < ∞ のとき
L (Ω) ··= {f : Lebesgue 可測;
∫
|f (x)|p dx < ∞}
p
と定義し, ノルム
∥f ∥p ··=
(5)
Ω
(∫
|f (x)| dx
p
) p1
(6)
Ω
に関して Banach 空間となる.
p = ∞ のときは
L∞ (Ω) ··= {f : Lebesgue 可測; ある K > 0 で |f (x)| ⩽ K a.e.x ∈ Ω}
と定義し, ノルムは
∥f ∥∞ ··= inf{K; |f (x)| ⩽ K a.e.x ∈ Ω}
2
(7)
(8)
で Banach 空間となる.
Remark 2.2. 正確にいうと Lp の元というのは a.e. 等しい関数を同一視した同値類で,
関数ではない.
Theorem 2.3 (H¨older の不等式). 1/p + 1/q = 1 とする. f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lq (Ω) とす
るとき,
∫
f (x)g(x)dx ⩽ ∥f ∥p ∥g∥q
(9)
Ω
となる.
Definition 2.4 (関数の台). Ω 上 m 回連続的微分可能関数の全体を C m (Ω) で表す.
m = 0 で C(Ω) とかく. これはただの連続関数の全体. f を複素数値関数とすると
き, その台を suppf ··= {x ∈ Ω; f (x) ̸= 0} と定義する. 台がコンパクトな C m 関数の
全体を Ccm (Ω) で表す. おおまかにいって, 境界の近くで 0 ということ. 台がコンパ
クトな連続関数はただの有界領域での積分なので, 可積分になる. 念のためにかくと
Cc∞ (Ω) =
∩∞
m=0
Ccm (Ω). ちなみに閉包をとってるのはたとえば台が [0, 1] としたときに
1/2 とかで 0 になっててもふくめたいからです.
Definition 2.5 (多重指数). 各 αj が 0 以上の整数としたときに α = (α1 , . . . , αn ) を多
重指数という.
|α| ··=
n
∑
αj , Dα f ··=
j=1
∂ |α| f
∂xα11 . . . ∂xαnn
(10)
とかく. xj に関する微分を ∂j とかいたりする.
とっても重要な関数空間を定義する.
Definition 2.6 (局所可積分関数). Ω にふくまれる任意のコンパクト集合上で可積分な
関数の全体を L1loc (Ω) で表す. この空間の関数を局所可積分関数という.
たとえば連続関数は局所可積分関数である. さらに H¨
older の不等式により Lp 関数も
局所可積分となる.(任意にコンパクト集合をとって f ∈ Lp としていま 1 はコンパクト集
合上可積分だから) つまり L1loc (Ω) はとても広い空間といえる.
ああつぎの定理を証明したかったのにめんどくさくなってしまった. 気が向いたらかき
ます.
3
Theorem 2.7 (変分法の基本補題*1 ). f ∈ L1loc (Ω) とする. 任意の ϕ ∈ Cc∞ (Ω) について
∫
f (x)ϕ(x)dx = 0
(11)
Ω
ならば f = 0 a.e.x ∈ Ω.
mollifier を使ってがんばって証明します.
3 超関数入門
いきなり定義を述べる.
Definition 3.1 (テスト関数). D(Ω) を Cc∞ (Ω) につぎの収束の“位相”を入れたものと
する: ϕj → ϕ in D とは, あるコンパクト集合 K で supp ϕj , supp ϕ ⊂ K となるものがあ
り, 任意の多重指数 α について K 上一様収束の意味で Dα ϕj → D α ϕ となることとする.
D(Ω) の関数をテスト関数という. なんでそういうかはつぎの定義ですぐわかると思う.
Definition 3.2 (超関数). D(Ω) から C への線型汎関数 T が連続のとき超関数 (distribution) という. 連続というのは ϕj → 0 in D(Ω) なら T (ϕj ) → 0 ということ. 超関数の
全体を D′ (Ω) とかこう.
つぎの命題が基本になる.
Proposition 3.3 (埋め込み). u ∈ L1loc (Ω) とする. ϕ ∈ D(Ω) に対して
∫
·
Tu (ϕ) ·=
u(x)ϕ(x)dx
(12)
Ω
と定義すると, Tu ∈ D′ (Ω) となる. さらに u 7→ Tu は単射となり, この意味で L1loc (Ω) ⊂
D′ (Ω) となる.(C(Ω) ⊂ L1loc (Ω) だったから, 超関数はふつうの関数の拡張とみれる)
proof. 積分が線型なので, 連続であることをみればよい. ϕj → 0 in D(Ω) とする. ϕj の
台をふくんでいるコンパクト集合 K があるので u ∈ L1loc (Ω) に注意して,
∫
|Tu (ϕj )| = u(x)ϕj (x)dx
K
∫
⩽ sup |ϕj |
|u(x)|dx → 0 as j → ∞
x∈K
*1
(13)
K
名前は変分法（解析力学とか）で Euler-Lagrange 方程式を出すときに補題として使われるから. たぶ
ん. du Bois-Reymond の補題ともいう.
4
となるから超関数である.
単射であることを示すために Tu = Tv と仮定する. 変分法の基本補題より u(x) =
v(x) a.e.x となるので, u = v in L1loc (Ω) であるから単射である. ♡
δ 関数を再考しよう.
Example 3.4 (Dirac 超関数). 各 ϕ ∈ D(Ω) に対して δx0 (ϕ) ··= ϕ(x0 ) と定義すれば明
らかに超関数となる.
supp ϕ ⊂ Ω − {x0 } とすると δx0 (ϕ) = 0 なので supp δx0 = {x0 } となる. これははじ
めの δ 関数の定義と合っている. これが超関数としての δ 関数の定義となる.
Remark 3.5. δ 関数は局所可積分関数からなる超関数ではない. じっさい, ある
u ∈ L1loc (Ω) で Tu = δx0 とかけているとする:
∫
u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x0 )
δx0 (x) =
(ϕ ∈ D(Ω)).
(14)
Ω
∫
ここで
uϕ = 0
(15)
Ω−{x0 }
だから変分法の基本補題より u(x) = 0 a.e.x ∈ Ω − {x0 } で一点は Lebesgue 測度 0 だか
ら結局 u(x) = 0 a.e.x ∈ Ω となり u = 0 inL1loc (Ω) となるから Tu = 0 で矛盾する. ♡
つぎに超関数の微分を定義する. 気分としては部分積分をイメージする. というかそれ
を定義にする.
Definition 3.6 (超関数の微分). T ∈ D′ (Ω) に対してその微分を
(
)
∂
∂
T (ϕ) ··= −T
ϕ
(ϕ ∈ D(Ω))
∂xj
∂xj
(16)
と定義すると, ∂j T ∈ D ′ (Ω)
proof. (というほどのことでもない) ϕ, ψ ∈ D(Ω), α, β ∈ C とする. 定義どおりに計算
すればよい.
∂j T (αϕ + βψ) = −T (∂j (αϕ + βψ))
= −(αT (∂j ϕ) + βT (∂j ψ))
= α∂j T (ϕ) + β∂j T (ψ)
5
(17)
だから線型. 連続性もおなじようにすればよく, T が連続だから ϕi → 0 in D(Ω) とす
ると,
∂j T (ϕi ) = −T (∂j ϕi ) → 0
(18)
より連続となって, ∂j T ∈ D ′ (Ω) となる. ♡
これによって何回でも微分ができて,
Dα T (ϕ) ··= (−1)|α| T (Dα ϕ)
(19)
と定義すると Dα T ∈ D′ (Ω) となる. これを超関数微分という.
ほんとは古典的な微分との関係とかをいわなきゃいけないけど, ここでは細かいことを
いわずにつぎの例を見るだけにする.
Example 3.7 (|x| の微分). |x| ∈ C(R) よりこれは超関数で, 超関数微分ができる. 気分
としては積分が一点では無視できることの帰結という感じ. じっさいに計算してみよう.
ϕ ∈ Cc∞ (R) に注意して
∫
∞
∫
−∞
∞
∂x T|x| (ϕ) = −
=−
(ふつうの部分積分) =
0
∫
∫
′
0
xϕ dx +
0
∞
∫
|x|ϕ′ dx
∞
=
−∞
∫
ϕ−
0
xϕ′ dx
(20)
ϕ
−∞
sgn xϕ(x)dx
−∞
となるから, |x| の超関数微分は sgn x となる. ここで
{
1
(x > 0)
sgn x ··=
−1 (x < 0)
(21)
は符号関数で, L1loc (R) 関数. ♡
つぎの例も有名.
Example 3.8 (Heaviside 関数*2 ).
{
1
H(x) ··=
0
*2
(x ⩾ 0)
(x < 0)
(22)
電気工学の人. 「消化器の構造を知らないからといって, 食事をしないわけではない」といったらしい.
かっこいい.
6
と定義する. H ∈ L1loc (R) で, これを Heaviside 関数という. 超関数微分してみよう.
∫
∂x TH (ϕ) = −
∞
ϕ′ = ϕ(0) = δ0 (ϕ)
(23)
0
だから, Heaviside 関数を微分すると δ 関数になる. ♡
さらに例をやる.
Example 3.9 (湯川ポテンシャル). n ⩾ 1, µ > 0 とする.
Gµy (x)
··= G (x − y); G (x) ··=
µ
∫
µ
0
∞
1
|x|2
exp(−
− µ2 t)dt
n
2
4t
(4πt)
(24)
µ
′
n
とすると, (−△ + µ2 )Gµ
y = δy となる. Gy ∈ D (R ) を湯川ポテンシャルという. これは
数理物理ではたとえば Birman-Schwinger の原理などで応用される.
Remark 3.10. 基本解ということ.
1/(4πt)n/2 exp[−|x|2 /(4t)] は n 次元熱核 (Gauss 核) で, Fourier 変換でよく出てくる.
Gµ (x) < ∞
∫
(x ̸= 0),
1
Gµ = 2
µ
Rn
(25)
(26)
などもわかる.
(−△ + µ2 )Gµy = δy をみて満足することにする. ϕ をテスト関数として
∫
Gµ (−△ + µ2 )ϕ(x)dx = ϕ(0)
(27)
Rn
であればよい. Fubini の定理を使えば微分が積分の中にはいり,
(−△ + µ2 )
1
|x|2
1
|x|2
2
exp[−
−
µ
t]
=
−∂
exp[−
− µ2 t]
t
4t
4t
(4πt)n/2
(4πt)n/2
7
(28)
に注意して (がんばって計算する), x を先に積分する:
)
1
|x|2
2
lim
[(−△ + µ )]
− µ t]ϕ(x)dx dt
n exp[−
ε→0 ε
4t
(4πt) 2
Rn
)
∫ ∞ (∫
1
|x|2
2
∂t
= − lim
− µ t]ϕ(x)dx dt
n exp[−
4t
ε
Rn (4πt) 2
∫
|x|2
1
− µ2 ε]ϕ(x)dx (微分積分学の基本定理)
= lim
n exp[−
2
4ε
n (4πε)
∫R
2
|y|
1
1
− 4
= lim
ϕ(ε 2 y)dy (x = ε1/2 y とおいた)
n e
Rn (4π) 2
∫
|y|2
1
=
e− 4 dyϕ(0) (Lebesgue 収束定理)
n
(4π) 2 R⋉
= ϕ(0) (Gauss 積分)
∫
∞
(∫
2
(29)
だから O.K. ♡
つぎの定理を証明抜きで述べて終わることにする.
Theorem 3.11 (正の超関数は測度). T を Ω 上の超関数とする. 任意の ϕ ⩾ 0 に対し
て T (ϕ) ⩾ 0 のとき T を正 (positive) ということにする. T が正の超関数のとき, 正則な
Borel 測度 µ が一意的にあって, 任意のコンパクト集合 K に対して µ(K) < ∞ であり,
∫
T (ϕ) =
ϕ(x)µ(dx)
(30)
Ω
となる.
逆に, 任意の Borel 測度 µ with µ(K) < ∞ (K はコンパクト) に対して上の式で正の超
関数が定まる.
Remark 3.12. µ が正則というのは任意の Borel 集合 A に対して
µ(A) = inf{µ(O); O は A をふくむ開集合 }
= sup{µ(K); K は A のコンパクト集合 }
(31)
ということ.
Riesz-Markov-角谷に似ているが, 証明もだいたいおんなじで, とってもたいへん. 証明
はたとえば Lieb-Loss [1] に載っているけど, 「いい測度論の演習になる」といっていろい
ろ演習問題にしてるので, 宮島 [12] などで補完しながら読むといいかも.
8
4 おまけ. 今後
というわけで δ 関数の例をいろいろ見てきたわけですが, 書いたとおり D′ (Ω) という空
間はとても“広い”. これによって微分操作とかを拡張できたけど, あんまり広いので偏
微分方程式などに応用するときにはちょっと不便.(たとえば Heaviside 関数は微分すると
δ 関数というわけのわからないものになってしまった)
そこで応用の際にはもうちょっと扱いやすくする必要があって, その意味で自然な空間
というのが Sobolev 空間となる. これはたいへんいい空間で, 量子力学への応用をする
ときにもとっても役立つ. たとえば量子力学の話をするときに L2 空間が重要なのはよく
知られているけれども, Schr¨
odinger 方程式は偏微分方程式なので, 微分も L2 にはいって
るくらいは条件としてほしい. それが Sobolev 空間で, 詳しくはいつか書くかもしれない.
たぶん.
参考文献
[1] E. Lieb, M. Loss, “Analysis”(second edition), Graduate Studies in Mathematics
Vol. 14, American Mathematical Society, 2001.
[2] 新井朝雄・江沢洋『量子力学の数学的構造 1, 2』(朝倉物理学大系 7, 8), 朝倉書店,
1999.
[3] 新井朝雄『ヒルベルト空間と量子力学』(共立講座 21 世紀の数学 16), 共立出版, 1997.
[4] 新井朝雄『量子現象の数理』(朝倉物理学大系 12), 朝倉書店, 2006.
[5] 江沢洋『量子力学 1, 2』, 裳華房, 2002.
[6] 黒田成俊『関数解析』(共立数学講座 15), 共立出版, 1980.
[7] 清水明『量子論の基礎その本質のやさしい理解のために』(新物理学ライブラリ), サ
イエンス社, 2004.
[8] 砂川重信『電磁気学』(物理テキストシリーズ 4), 岩波書店, 1987.
[9] 深谷賢治『電磁場とベクトル解析』(現代数学への入門), 岩波書店, 2004.
[10] 増田久弥『関数解析』(数学シリーズ), 裳華房, 1994.
[11] 宮島静雄『ソボレフ空間の基礎と応用』, 共立出版, 2006.
[12] 宮島静雄『関数解析』, 横浜図書, 2005.
記述はだいたい Lieb-Loss [1] と宮島 [11] にしたがった. Lieb-Loss は Lebesgue 積分
9
からはじめて関数空間の話や不等式, 超関数に Sobolev 空間, それらの応用と幅広く扱っ
てる実解析の教科書で, おもしろいけれども読者に証明をまかせているところもよくあり
けっこうむずかしくてあんまり最初に読む本じゃないと思う.
それよりも読みやすいのが宮島 [11] で, これは前提知識は Lebesgue 積分くらいで
Sobolev 空間の話を詳述していて, たぶんこれより読みやすい本はないんじゃないかしら.
偏微分方程式への応用や実解析の入門的な話題に触れられているのもうれしい. 宮島先生
の本大好き.
新井・江沢 [2] は量子力学の数学に関する「数学書」で, 1 ではヒルベルト空間から自己
共役作用素のスペクトル分解までを詳述している. 証明はかなりていねいだけども, それ
なりに話題自体がきついのであんまり最初に読む本じゃないかも? ただ付録 C「超関数論
要項」は超関数の内容が簡潔にまとまってて, たいへん読みやすい. 2 では量子力学への応
用をこれまたかなりていねいに議論している. 以下同文 (付録はどっちにもある).
記号の問題もあって, 量子力学への応用を知りたい数学の人は新井 [3] のほうが読みや
すいかもしれない. こちらはスペクトル分解の使い方に慣れることを目標としていて, ス
ペクトル分解の証明は略されているけど議論自体はていねい. (新井・江沢 [2] に比べる
と) 薄い.
この pdf で略した関数解析の基本事項 (変分法の基本補題含む) は増田 [10] や黒田 [6],
宮島 [12] が詳しい. 増田先生, 黒田先生の本大好き.
電磁気は物理としては一応砂川 [8] を挙げておくけど, 詳しくは物理の人にきいてくだ
さい. わたしも知りたい. 数学の人は深谷 [9] がいいのかな? ベクトル解析むずい. どっち
も δ 関数の話はかるく書いてあるので挙げてみました.
湯川ポテンシャルは新井 [4] と Lieb-Loss [1] に書いてありますが, 物理としては書いて
ある本すら知らないです. だれか教えてください.
10

Download Report