関数論演習第 6 回 2014 年 5 月 2 日担当：中島複素関数 1 6 例題 6.1. 級数 ∑ in は絶対収束することを示せ. n2 n≥1 例題 6.2. fn (z) = z n とする. D1 (0) = {z ∈ C : |z| < 1}, Dr (0) = {z ∈ C : |z| ≤ r} とする. (i) 0 ≤ r < 1 とする. fn は Dr (0) 上 0 へ一様収束することを示せ. (ii) fn は D1 (0) 上一様収束しないことを示せ. 問 6.1. (i) 級数 ∑ in は絶対収束しないことを示せ. n n≥1 (ii) 級数 ∑ in は収束することを示せ. (Hint: 交代級数を見つける.) n n≥1 問 6.2. 集合 A ⊂ C 上の連続関数列 {fn (z) : n ≥ 1} が関数 f (z) へ一様収束するとする. このとき関数 f (z) は A 上連続であることを示せ. レポート A 6.1. 以下の問に答えよ. ∑ (i) |z| < 1 であるとき無限級数 z n は絶対収束し, その値は n≥0 (ii) Cauchy の乗積級数を用いて |z| < 1 であるとき ∑ 1 であることを示せ. 1−z nz n−1 = n≥0 1 であることを示せ. (1 − z)2 レポート A 6.2. A 上定義された複素関数 f (z) が「点 z0 で連続である」ことと, 「A 内の任意の点列 {zn : n ≥ 1} で zn → z0 となるものに対して f (zn ) → f (z0 )」が同値であることを示せ. レポート A 6.3. A ⊂ C 上定義された複素関数列 {fn (z) : n ≥ 1} が次を満たすとする. 任意のε > 0 に対して, ある N が存在し n ≥ m ≥ N ならば sup |fn (z) − fm (z)| < ε. ( ☆) z∈A 以下の問に答えよ. (i) {fn : n ≥ 1} が A 上ある関数 f へ一様収束するならば (☆) を満たすことを示せ. (ii) ある関数 f が存在して {fn : n ≥ 1} は A 上 f へ各点収束することを示せ. (iii) ある関数 f が存在して {fn : n ≥ 1} は A 上 f へ一様収束することを示せ. ∑ ∑ レポート B 6.1. 複素数列 {zn : n ≥ 0} は Re(zn ) ≥ 0 を満たすとする. zn , zn2 が収束すれば ∑ n≥0 |zn |2 も収束することを示せ. n≥0 レポート提出期限: 2014 年 5 月 9 日 (金) 授業開始時まで提出: 授業開始時に提出注: 5 月 9 日の演習は火曜日の授業の振替 (2 限目) になっている. n≥0