4. 関数・数列の極限問 4-43A. 実数列 a = (an)∞ n=0 について、次の

4. 関数・数列の極限
問 4-43A. 実数列 a = (an )∞
n=0 について、次のことの定義を (ε-δ 流で) 述べよ。
(1) n −→ ∞ で実数 α ∈ R に収束する (an −→ α)
(2) n −→ ∞ で正の無限大に発散する (an −→ +∞)
問 4-44A. 区間 I を定義域とする実数値関数 f : I −→ R について、次のことの定義
を (ε-δ 流で) 述べよ。
(1) x −→ a で実数 α ∈ R に収束する (f (x) −→ α)
(2) x −→ a で正の無限大に発散する (f (x) −→ +∞)
問 4-45A. 充分大きい実数に対して定義された実数値関数 f : I −→ R について、次
のことの定義を (ε-δ 流で) 述べよ。
(1) x −→ +∞ で実数 α ∈ R に収束する (f (x) −→ α)
(2) x −→ +∞ で正の無限大に発散する (f (x) −→ +∞)
(上 3 問とも、複素数列の場合や、複素数値関数や複素数の集合を定義域とする関数の
場合にも通用する定式化が望ましい。)
問 4-46A. 次で定まる実数列 a = (an )∞
n=0 の、n −→ ∞ での極限は？
1
(−1)n
(1) an = 3
(2) an = n
(3) an =
(4) an = (−1)n
(5) an =
n+1
n+1
問 4-47A. 正の実数全体 R>0 を定義域とする次の実数値関数 f の、x −→ 0 および
x −→ +∞ での極限は？
1
x2014
sin x
(1) f (x) = x (2) f (x) =
(3) f (x) = sin x (4) f (x) = x
(5) f (x) =
x
e
x
問 4-48B. 実数全体の集合 R 上で定義された実数値関数 f が x −→ +∞ で或る実数
α ∈ R に収束するとき、f が充分大きい実数に対して有界であることを示せ。
問 4-49B. 実数列 a = (an )∞
n=0 が n −→ ∞ で或る実数 α ∈ R に収束するとき、a が
有界であることを示せ。
問 4-50B. 実数値関数 f と実数 c ∈ R とに対し、スカラ倍 cf を (cf )(x) := cf (x) で
定義する。x = a の近くで定義された実数値関数 f : I −→ R について、x −→ a のとき
f (x) −→ α ならば、任意の実数 c ∈ R に対し、(cf )(x) −→ cα であることを示せ。
問 4-51B. 実数値関数 f, g に対し、その和 f + g を (f + g)(x) := f (x) + g(x) で定
義する。x = a の近くで定義された実数値関数 f, g : I −→ R について、x −→ a のとき
f (x) −→ α, g(x) −→ β ならば、(f + g)(x) −→ α + β であることを示せ。
問 4-52C. 実数値関数 f, g に対し、その積 f g を (f g)(x) := f (x)g(x) で定義する。
x = a の近くで定義された実数値関数 f, g : I −→ R について、x −→ a のとき f (x) −→
α, g(x) −→ β ならば、(f g)(x) −→ αβ であることを示せ。
問 4-53D. 2 つの実数値関数 f, g の商 f /g について考えるとどうか。
問 4-54C. 上と同様のことを、x −→ +∞ に関して考えよ。(定式化して証明せよ。)
問 4-55B. 実数全体 R を定義域とする次の実数値関数全体の成す集合を V とする。
次で定める V 上の関係 ∼ が同値関係であることを示せ :
←
• f, g ∈ V に対し、f ∼ g ⇐⇒ (x −→ +∞ で (g − f )(x) −→ 0)
問 4-56C. 上問の V は上で定めた和とスカラ倍とに関して線型空間を成す。この線型
空間 V に於いて、x −→ +∞ で f (x) −→ 0 となる関数全体の成す部分集合 V0 が V の
部分線型空間を成すことを示せ。
問 4-57C. 上と同様のことを、実数列に関して考えよ。(定式化して証明せよ。)
問 4-58C. 実数列 a = (an )∞
n=1 が n −→ ∞ で α ∈ R に収束するとき、部分和の平均
n
X
1
tn =
ak で定義される数列 t = (tn )∞
n=1 も同じ値 α に収束することを示せ。
n k=1
n
1X
に対し、部分和の平均
t
=
問 4-59D. 有界な数列 a = (an )∞
ak で定義され
n
n=1
n
る数列 t = (tn )∞
n=1 は収束するか。
—2014 年度ゼミナール I・II (担当:角皆) 4—
k=1

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