微分幾何学I 演習問題 2015-15 問題 1. M m を m 次元 C ∞ -多様体,N n を n 次元 C ∞ -多様体とする. M m と N n の直積集合は, M m × N n := {(x, y) | x ∈ M, y ∈ N } によって定められる.このとき,次の問いに答えよ. (1) 直積集合 M m × N n には,(m + n) 次元 C ∞ -多様体の構造を入れ ることができることを示せ.これは M m と N n の直積多様体と 呼ばれる. (2) 各 (x, y) ∈ M m ×N n において,接ベクトル空間 T(x,y) (M m ×N n ) と直和ベクトル空間 Tx M ⊕ Ty N の間には標準的な線型同型写 像が存在することを示せ. (3) y0 ∈ N n を固定する.写像 jy0 : M m ∋ x 7−→ (x, y0 ) ∈ M m × N n は,C ∞ -多様体 M m から直積多様体 M m × N n への埋め込み (embedding)であることを示せ. (4) 写像 πM : M m × N n ∋ (x, y) 7−→ x ∈ M m は,直積多様体 M m × N n から C ∞ -多様体 M m の上への沈め込 み(submersion)であることを示せ. 問題 2. M m を m 次元 C ∞ -多様体とする.M m とそれ自身との直積多 様体を M m × M m とする.このとき,対角写像 δ : M m ∋ x −→ (x, x) ∈ M m × M m は,m 次元 C ∞ -多様体 M m から直積多様体を M m × M m への埋め込 みであることを示せ. 1 問題 3. M m を m 次元 C ∞ -多様体,N n を n 次元 C ∞ -多様体, φ : M m → N n を M m から N n への C ∞ 写像とする.このとき,写像 Φ : M m ∋ x −→ (x, φ(x)) ∈ M m × N n は,C ∞ -多様体 M m から直積多様体 M m × N n への埋め込み(embedding)であることを示せ.部分集合 Φ(M m ) ⊂ M m × N n を,写像 φ の グラフと言う. 問題 4. M 1 = R(1 次元ユークリッド空間),N 2 = R2(2 次元ユーク リッド空間)とする. φ : M 1 = R ∋ x 7−→ ( r cos x, r sin x ) ∈ R2 = N を M 1 から N 2 への C ∞ 写像とする.このとき,写像 φ は,1 次元 C ∞ 多様体 M 1 から 2 次元 C ∞ -多様体 N 2 へのはめ込め(immersion)であ り,埋め込み(embedding)ではないことを示せ.さらに,写像の像 φ(M 1 ) はどんな図形か? N 2 = R2 = C を複素平面(or ガウス平面)と考えるとき,上の写 像 φ は, √ φ : M 1 = R ∋ x 7−→ e −1x ∈ C = N と表すことができる. 2
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