多様体，Nn を n 次元 C

微分幾何学Ｉ演習問題 2015-15
問題 1. M m を m 次元 C ∞ -多様体，N n を n 次元 C ∞ -多様体とする．
M m と N n の直積集合は，
M m × N n := {(x, y) | x ∈ M, y ∈ N }
によって定められる．このとき，次の問いに答えよ.
(1) 直積集合 M m × N n には，(m + n) 次元 C ∞ -多様体の構造を入れ
ることができることを示せ．これは M m と N n の直積多様体と
呼ばれる．
(2) 各 (x, y) ∈ M m ×N n において，接ベクトル空間 T(x,y) (M m ×N n )
と直和ベクトル空間 Tx M ⊕ Ty N の間には標準的な線型同型写
像が存在することを示せ．
(3) y0 ∈ N n を固定する．写像
jy0 : M m ∋ x 7−→ (x, y0 ) ∈ M m × N n
は，C ∞ -多様体 M m から直積多様体 M m × N n への埋め込み
（embedding）であることを示せ．
(4) 写像
πM : M m × N n ∋ (x, y) 7−→ x ∈ M m
は，直積多様体 M m × N n から C ∞ -多様体 M m の上への沈め込
み（submersion）であることを示せ．
問題 2. M m を m 次元 C ∞ -多様体とする．M m とそれ自身との直積多
様体を M m × M m とする．このとき，対角写像
δ : M m ∋ x −→ (x, x) ∈ M m × M m
は，m 次元 C ∞ -多様体 M m から直積多様体を M m × M m への埋め込
みであることを示せ．
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問題 3. M m を m 次元 C ∞ -多様体，N n を n 次元 C ∞ -多様体, φ : M m →
N n を M m から N n への C ∞ 写像とする．このとき，写像
Φ : M m ∋ x −→ (x, φ(x)) ∈ M m × N n
は，C ∞ -多様体 M m から直積多様体 M m × N n への埋め込み（embedding）であることを示せ．部分集合 Φ(M m ) ⊂ M m × N n を，写像 φ の
グラフと言う．
問題 4. M 1 = R（1 次元ユークリッド空間），N 2 = R2（2 次元ユーク
リッド空間）とする．
φ : M 1 = R ∋ x 7−→ ( r cos x, r sin x ) ∈ R2 = N
を M 1 から N 2 への C ∞ 写像とする．このとき，写像 φ は，1 次元 C ∞ 多様体 M 1 から 2 次元 C ∞ -多様体 N 2 へのはめ込め（immersion）であ
り，埋め込み（embedding）ではないことを示せ．さらに，写像の像
φ(M 1 ) はどんな図形か？
N 2 = R2 = C を複素平面（or ガウス平面）と考えるとき，上の写
像 φ は，
√
φ : M 1 = R ∋ x 7−→ e −1x ∈ C = N
と表すことができる．
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