Réduction

M.P.
C. Jammes
Lycée Gustave Monod
Colle n◦ 17
Diagonalisation, trigonalisation
Planche n◦ 1
Cours –Vite et bien
• Soient E un K-ev de dimension finie n et u ∈ L(E). Montrer l’équivalence entre les deux propriétés :
(i) u est diagonalisable
(ii) χu est scindé et pour toute racine λ de χu , dim(Eλ (u)) = m(λ)
Exercice 1–Racine d’une matrice diagonalisable inversible
1. Soit A ∈ GLn (C). On suppose qu’il existe p ∈ N∗ tel que Ap soit diagonalisable.
Montrer que A est diagonalisable.
2. La propriété subsiste-t-elle si A n’est pas inversible ?
Exercice 2–Crochet de Lie
Soient E un K-espace vectoriel, où K = R ou C de dimension finie, α ∈ K∗ et f, g ∈ L(E) tels que g ◦ f − f ◦ g = αf .
1. Montrer que ∀k ∈ N∗ , on a g ◦ f k − f k ◦ g = kαf k .
2. Soit v un vecteur propre de g associé à la valeur propre λ. Calculer g(f k (v)), ∀k ∈ N∗ .
Montrer qu’il existe k ∈ N∗ tel que f k (v) = 0.
3. Si g est diagonalisable, montrer que f est nilpotente.
1
Planche n◦ 2
Cours –Vite et bien
• Soient E un K-ev de dimension finie n et u ∈ L(E). Montrer l’équivalence entre les deux propriétés :
(i) u est trigonalisable
(ii) Il existe un polynôme annulateur de u scindé
Exercice 1–Matrice compagnon

Soit P = X n −
n−1
X
0

 1
ai X i ∈ Kn [X]. On appelle matrice compagnon de P la matrice C(P ) = 


i=0
..
.
..
.
0
1
a0
..
.
..
.
an−1
1. Calculer χC(P ) , polynôme caractéristique de C(P ).
2. Déterminer ΠC(P ) et en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que C(P ) soit diagonalisable.
Exercice 2–Commutant d’un endomorphisme
Soient E un espace vectoriel sur K, où K = R ou C de dimension n > 1 et f ∈ L(E).
On note Γf = {g ∈ L(E) : g ◦ f = f ◦ g}.
1. Si f est diagonalisable, déterminer la dimension de Γf .
2. Si de plus les valeurs propres de f sont deux à deux distinctes, montrer que Γf = {P (f ) : P ∈ K[X]}.
2






Planche n◦ 3
Cours –Vite et bien
• Soient E un K-ev de dimension finie n et u ∈ L(E). Montrer l’équivalence entre les deux propriétés :
(i) u est diagonalisable
(ii) Il existe un polynôme annulateur de u scindé à racines simples

Exercice 1–Trigonalisation
2
Soit M =  1
−2
−3
−2
6

−1
−1 .
3
0
1
0

0
1  Q−1 .
1
1. Trigonaliser M dans Mn (R).

1
2. Déterminer Q ∈ GL3 (R) tel que M = Q  0
0
Exercice 2–Caractérisation de matrices nilpotentes
Soit A ∈ Mn (C).
1. On note λ1 , . . . , λr les valeurs propres complexes de A et n1 , . . . , nr leurs multiplicités respectives.
Exprimer en fonction des λi le nombre T r(Ak ), pour k ∈ N∗ .
2. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ N∗ , T r(Ak ) = 0.
3

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