(Guide Job), édition 2015 - Information Jeunesse Bourgogne

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Oscillateur électrique
Oscillation forcée résonance
I- Etude expérimentale
1/ Mise en évidence des oscillations forcées
On se propose d’étudier la réponse, en intensité,
du circuit (RT, L, C) série lorsqu’il est soumis à
R
C ( r, L)
une tension sinusoïdale délivrée par un G.B.F.
La portion du circuit (RT, L, C) est appelée
A
V
résonateur et la tension u(t) sinusoïdale est appelée
la tension excitatrice.
G.B.F
On détermine la fréquence Ne de la tension
excitatrice et celle N de l’oscillateur. On compare N à Ne puis à N0 fréquence
propre de l’oscillateur. On constate que N = Ne  N0. Les oscillations sont dites
alors forcées.
En faisant varier la fréquence de la tension excitatrice, on constate que :
 l’amplitude URMax de la tension aux bornes du résistor, qui est
proportionnelle à l’amplitude Imax de l’intensité de courant, varie.
 l’amplitude UCMax de la tension aux bornes du condensateur, qui est
proportionnelle à l’amplitude Qmax de la charge, varie.
 le déphasage entre u(t) et i(t) varie aussi.
2/ Résonance d’intensité et résonance de charge
a- Expérience
On se propose d’étudier la variation de Imax et de Qmax en fonction de la
fréquence Ne de u(t).
b- Tableau de mesures
On réalise deux séries de mesures pour R1 = 1000  et pour R2 = 2000 .
L = 1,2 H ; C = 0,14 F
Ne(Hz)
Im(A)
-3
c-Qm( 10 C)
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c- Courbe Im et Qm en fonction de Ne
 On constate que Imax admet un maximum pour
1
Ne = NR(I) = N0 =
 388 Hz
2 LC
C’est le phénomène de résonance d’intensité. Dans
le cas d’un amortissement faible, la résonance est
dite aiguë. Dans le cas d’un amortissement
important, la résonance est dite floue.
 On constate que UCmax prend une valeur
maximale alors Qmax prend aussi une valeur
maximale pour Ne = ? Hz < N0
Pour cette valeur de fréquence notée NR(C), on dit
que l’oscillateur entre en résonance de charge.
R1
Im
Ne
NR
Qm
Ne
NR
II- Etude théorique
1/ Résonance d’intensité
a- Equation différentielle
On applique la loi des mailles au circuit.
u c + u L + uR – u = 0
di
q
 L  ri  Ri   u
dt
C
di
1
 L  (R  r )i   idt  u
dt
C
b- Construction de Fresnel
On peut associer d’une manière unique à chaque fonction sinusoïdale
y = ym.sin(t + ) un vecteur appelé vecteur de Fresnel.
 Définition

Un vecteur de Fresnel v associé à la fonction sinusoïdale y = a.sin(t + )

est un vecteur de valeur v  y m (amplitude de la fonction sinusoïdale) et fait un
angle de valeur  avec l’axe des phases ( est la phase initiales de la fonction
sinusoïdale).
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 Exercice
Représenter les vecteurs de Fresnel correspondants aux fonctions sinusoïdales
suivantes :
y1 = 3.10-2.sin(10t +  ) et y1 = 2.10-2.sin(10t -  ).
3
4
-2
On adoptera l’échelle 1 cm
10 m.
 Réponse

2
v1 (3.10 ,  )
3
y1 = 3.10-2.sin(10t +  )
3

v1
+
1  
3  = 0 rad
o
 = 0 rad
o
Axe des phases

v2
2   
4

2
v 2 (2.10 ,  )
4
y1 = 2.10-2.sin(10t -  )
4
 Somme de deux fonctions sinusoïdales synchrones
On considère les deux fonctions sinusoïdales y1 et y2 suivantes :

y1 = a1.sin(t +1)
v1 (a1 , 1 )

y2 = a2.sin(t +2)
v 2 (a 2 , 2 )
  
y = y1 + y2 = a.sin(t+)
v  v1  v 2 (a, )
y

v

v2

v1
2
1

 = 0 rad
x
o
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 Dérivé
On considère la fonction sinusoïdale suivante :

y1 = a1.sin(t +1)
v1 (a1 , 1 )
dy

On pose y2 = 1  .a1. cos(t  1 )
v 2 (a 2  a1, 2  1   )
2
dt

v2

v1
2
 Primitive
1
o
y1 = a1.sin(t +1)
 = 0 rad

v1

v1 (a1 , 1 )
a
On pose y 2   y1.dt   1 . cos(t  1 )
o

a
a

y 2  1 . sin( t  1   )  v 2 (a 2  1 , 2  1   )

2

2
v2
1
2
 Construction de Fresnel relative à l’équation différentielle
On pose i = RImsin(e .t +i) et u = Um sin(e t)
Ri = RImsin(e .t +i)
V1 ( RI m , i )


L di = Le Imsin(e t+i +/2)
V2 ( Le I m , i  )
dt
2
 Im

1 idt  I m sin( t+ -  )
V
, i  )

e
i
3(
C
2
C e
Ce
2

u = Um sin(e t)
V( U m , 0)
Im
C e
Um
 = 0 rad
LeIm
U - i
(R+r)Im
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Cas où Le > 1
Ce
ou e > 0
 = 0 rad
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c- Expression de Im et de tg(u - i)
D’après la propriété du triangle rectangle ( Pythagore ), on a :
I
U 2m  (( R  r )I m ) 2  (Le I m  m ) 2
Ce
 Im 
Um
(R  r ) 2  (Le 
1
Ce
Rr
L 
1 2
)
Ce
et tg ( U  i ) 
d- Impédance d’un circuit
Définition
On appelle impédance d’une portion de circuit notée Z  U Avec :
I
U est la tension efficace aux bornes de la portion et I est l’intensité efficace qui
traverse la même portion.
Unité : Z s’exprime en Ohm ()
Exemples
On pose i = Imsin(wet + i ) et u = Umsin(wet)
U
uL = L di = LeImsin(et + i +  ) alors ZL = L  Le
dt
2
I
U
1
1

1
I m sin( e t  i  ) alors ZC  C 
uc =  idt 
C
Ce
2
I
Ce
Um
1 2
 (R  r ) 2  (Le 
) = Z est appelé impédance du circuit Rt , L,
Im
Ce
C.
e- Circuit capacitif, inductif et résistif
 Un oscillateur électrique est dit inductif, si ZL > ZC. Alors la tension u(t)
sera en avance de phase par rapport à l’intensité de courant (N > N0).
 Un oscillateur électrique est dit capacitif, si ZL < ZC. Alors la tension u(t)
sera en retard de phase par rapport à l’intensité de courant (N < N0).
 Un oscillateur électrique est dit résistif, si ZL = ZC. Alors la tension u(t)
sera en phase par rapport à l’intensité de courant (N = N0).
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f- Résonance d’intensité
Im est maximale si Z est minimale. A la résonance d’intensité on a donc
1
1
 (Le 
)  0  e 
 0 ou N e  N 0 (Construction)
Ce
LC
 Z = R+r
 tg(u - i) = 0 donc u = i alors la tension u(t) est en phase par rapport à
l’intensité de courant.
R1
 Remarque
Im
La résonance d’intensité est obtenue pour une
fréquence de l’excitateur égale à la fréquence
R2 > R1
propre de l’oscillateur quelque soit la valeur de Rt.
Ne
g- Phénomène de surtension
NR
Définition
A la résonance, on appelle coefficient de surtension ou facteur de qualité noté
U
Q, le rapport Q  C .
U
Lw 0
1
Q

R  r C(R  r ) W0
Remarque
On remarque que plus l’amortissement est important, plus le facteur de qualité
est faible.
2/ Résonance de charge
a- Equation différentielle
D’après la loi des mailles
di
q
dq
donc l’équation différentielle devient :
L  ri  Ri   u or i 
dt
C
dt
2
d q
dq q
L 2  (r  R )   u
dt C
dt
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b- Expression de Qm
dq
alors q   idt avec i = Imsin(et + i )
dt
I
I
Donc q = m sin(et + i -  ) = Qm sin(et + q) d’où Qm = m
2
e

1
Um
Qm 
e
1 2
(R  r ) 2  (Le 
)
Ce
On i 
Qm 
Um
1
(R  r ) 2 e2  (  Le2 ) 2
C
c- Résonance de charge
Déterminons pour qu’elle valeur de we, Qm admette un maximum.
d
1
1
(R T2 e2  (  Le2 ) 2 )  0  2R T2 e  2(  Le2 )( 2Le )  0
de
C
C
 e (2R T2
L
 4  4L2e2 )  0
C
ou N e 
N 02

Or e  0  e 
02

R T2
2L2
R T2
appelée fréquence
82 L2
de résonance notée NR.
On constate que Ne < N0.
On constate aussi que plus l’amortissement
est faible ( RT est faible ), plus Ne est faible
et plus la différence entre la fréquence de
résonance et la fréquence propre est
importante.
Qm
Résonance aiguë
Résonance floue
Ne
NR1 NR2 NR3
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Remarque
Pour le cas d’un amortissement très faible
(RT  0)
Um
Um
Si
Qm 

2
2
1
2
L
(



)
0
e
 Le
C
  0 ; Qm  
3/ Puissance électrique moyenne consommée par
un circuit R+r, L, C
Qm
Ne
N0
Définition
On appelle puissance moyenne notée Pm = U.I.cos(u - i) avec :
 Le produit U.I = Pa appelé puissance apparente.
 cos(u - i) est appelé facteur de puissance.
Remarque
(R  r )
 (R  r ).I 2
Z
Lorsque I est maximale, alors Pm est aussi maximale cela implique la résonance
d’intensité coïncide avec la résonance de puissance.
 On remarque aussi que la puissance moyenne absorbée par le circuit R+r,
L, C est entièrement absorbée par les résistors.
 Pm = U.I. cos(u - i) = Z.I.I.
4/ Importance industrielle du facteur de puissance.
cos(u - i) = 0,7
cos(u - i) = 0,9
Usine B
Usine A
R=5
R=5
S.T.E.G
U = 220 V et I = 10 A
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Pour le propriétaire A
Pm = 220*10*0,7 = 1540 W
Pprdue = RI2 = 500W
Puissance fournie par la S.T.E.G
Pt = 1540+500 = 2040 W
Pourcentage r de perte pour la S.T.E.G
r = 500 .100  24 0
0
1540
Pour le propriétaire B
Pm = 220*10*0,9 = 1980 W
Pprdue = RI2 = 500W
Puissance fournie par la S.T.E.G
Pt = 1980+500 = 2480 W
Pourcentage r de perte pour la S.T.E.G
r = 500 .100  20 0
0
2480
Pour la S.T.E.G le propriétaire A est plus rentable que le propriétaire B.
Le cos(u - i) autorisé par la S.T.E.G est 0,7 < cos(u - i) < 0,9.
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