Correction partielle du TD n3

Correction partielle du TD n◦ 3
Correction 1 On a
n
X
cos(kx) =
k=0
n
X
Re e
ikx
k=0
On reconnaît une somme géométrique :
n
X
eikx =
k=0
= Re
!
n
X
e
ikx
k=0
"
.
1 − e(n+1)ix
.
1 − eix
On factorise par l’arc moitié pour déterminer sa partie réelle:
i(n+1)x
inx
(n+1)x
(n+1)x
2
2 sin
e
e
2i
sin
(n+1)ix
2
2
1−e
=
=
,
ix
x
x
1 − eix
2
sin
e 2i sin 2
2
on a donc
n
X
inx
2
cos
cos(kx) =
∀k ∈ [|0, n|],
sin
sin
k=0
Pour la deuxième somme, on écrit:
cos2 (kx) =
x
2
(n+1)x
2
.
1
1
cos(2kx) + ,
2
2
d’où, d’après ce qui précède (en remplaçant x par 2x),
n
X
cos2 (kx) =
k=0
Correction 2 On a :
n
X
cos(kx)
k=0
cosk x)
=
n
X
k=0
On reconnaît une somme géométrique,
1 cos (inx) sin ((n + 1)x) n + 1
+
.
2
sin (x)
2
Re
eikx
cosk x)
k
n X
eix
= Re
cos x)
!
k=0
"
.
ix n+1
e
k
n 1 − cos
X
x
eix
=
ix
e
cos x)
1 − cos x
k=0
On multiplie par cosn+1 (x) au numérateur et au dénominateur:
1−
eix
cos x
1−
n+1
eix
cos x
=
cosn+1 (x) − ei(n+1)x
cosn+1 (x) − ei(n+1)x
=
.
n
ix
cos (x) (cos(x) − e )
−i sin(x) cosn (x)
On prend la partie réelle:
n+1
cos
(x) − ei(n+1)x
sin ((n + 1)x)
i cosn+1 (x) − iei(n+1)x
Re
=
Re
=
,
−i sin(x) cosn (x)
sin(x) cosn (x)
sin(x) cosn (x)
donc
n
X
cos(kx)
k=0
Correction 4
n
P
k=p
k=
cosk
x)
=
sin ((n + 1)x)
sin(x) cosn (x)
(n − p + 1)(n + p)
.
2
2
Correction 5
3n2 + 5n + 2
2
Correction 7
On écrit
! n "
n X
X n
x
nx
n
x
ikx
cosn
= 2n cos
cos kx = Re
= Re (1 + eix )n = Re einx/2 2n cosn
e
2
2
2
k
k
k=0
k=0
Pour la deuxième somme, il suffit de remarquer que cos2 (kx) = cos 2kx+1
donc,
2
! n "
n X
n
1X n
n+1
n+1
2
cos kx =
cos 2kx +
= 2n−1 cos(nx) cosn (x) +
k
2
2
2
k
k=0
k=0
Correction
8 n p
n!
n!
p!
(n − k)!)
1
n!
n n−k
. On
=
=
.
=
=
On a
k
p
k!(n − k)! (p − k)!(n − p)!
(n − k)! (p − k)!(n − p)!
p!(n − p)! k!(p − k)!
p−k
k
en déduit:
X
p p X
n n−k
n p
n
=
=
.2p
k
p−k
p
k
p
k=0
et
k=0
p X
n n−k
p−k
k
k=0
Correction 9
On a
p
q
(1 + x) (1 + x) =
(−1)k =
k=0
p X
p
k
k=0
X
p n
p
(−1)k = 0
p
k
x
k
q X
q
j
j=0
X
j
x =
06k6p06j6q
p q i+j
x
j
k
On procède maintenant à un changement d’indice pour grouper les puissances identiques de x. Pour cela, on pose
n = j + k, n varie donc entre 0 et p + q et à n fixé, on a j + k = n lorsque k varie entre 0 en min(n, p) et lorsque j
vaut n − k. On a donc
X
06k6p06j6q
car
p
k
p+q X
p+q min(n,p) n X
q
p
q
p
p q i+j X X
xn
xn =
x
=
n
−
k
k
n
−
k
k
j
k
n=0
n=0
k=0
k=0
vaut 0 si k > p. Par ailleurs, (1 + x)p (1 + x)q = (1 + x)p+q =
p+q
P
n=0
p+q
n
n X
p
q
p+q
=
k
n−k
n
xn . Par identification, on a donc
k=0
Correction 10
X
max(i, j) =
16i,j6n
X
16i,j6n
n
X
i=1


i
X
j=1
i+
n
X
j=i+1

j =
n X
i2 +
i=1
(n + i + 1)(n − i)
2
=
n
X
i2
i=1
2
+
n(n + 1) i
n(4n − 1)(n + 1)
− =
2
2
6


X
i
n
n n
X
X
X
n(n + 1)(2n + 1)
i(i + 1)
(2n + 1)i i2


min(i, j) =
j+
i =
+ i(n − i) =
−
=
2
2
2
6
i=1
j=1
j=i+1
i=1
i=1
n
X
X
16i,j6n

ij = 
X
16i6n

i 
X
16j6n
3

j =
n(n + 1)
2
2

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