Fonctions usuelles

Lyc´ee Pierre-Paul Riquet
Math´ematiques 1-TSI
TD 2
Fonctions usuelles
Exercice 1 : R´esoudre les ´equations ci-dessous :
(a) ln(2x2 + 1) − 1 = ln(2x + 1) ;
(b) (ln x)2 + 3 ln x − 4 = 0 ;
(c) ln(x) + ln(x + 3) = 2 ln(2) ;
(d) ln(x + 1) + ln(x − 3) = 2 ln(x − 2) ;
(e) ln(x) + ln(x2 − 5) = ln 2 + ln(x2 − 3) ;
(f) e2x + ex − 2 = 0 ;
2
(g) 2ex = ex ;
(i)
(h) ex − 4e−x = 1 ;
ln(x)
ln(a)
=
, a > 0;
ln(a)
ln(x)
(j)
ln(x) ln(x)
−
= 1.
ln 3
ln 2
Exercice 2 : R´esoudre les in´equations suivantes :
(a) e−2x ≥
(c) ln
1
2
2
(b) ex < 41 ex ;
;
x−1
x+1
≥ 1;
(d)
(e) ex ≥ e2x − 1 ;
Exercice 3 : R´esoudre l’´equation :
√
ex + 1
≤ 2;
ex − 1
(f) ln(ex − e−x ) > 2.
e2x − 3ex + 2 = ex − 2.
Exercice 4 : R´esoudre l’´equation de param`etre r´eel m : ex − e−x = 2m.
ex + e−x
ex − e−x
et sh(x) =
.
2
2
1. Simplifier les expressions suivantes :
Exercice 5 : On pose : ch(x) =
(a) ch(x) + sh(x) ;
(b) ch(x) − sh(x) ;
(c) ch2 (x) − sh2 (x).
2. Exprimer ch(x + y) et sh(x + y) en fonction de ch(x), ch(y), sh(x), sh(y).
Exercice 6 : R´esoudre les ´equations ci-dessous :
√
√ x
2
3
(a) x x = ( x) ; (b) 2x = 3x ; (c) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 3x + 3x+1 + 3x+2 ;
Exercice 7 : R´esoudre le syst`eme :
(d) 4x+1 + 22−x = 18.
8x = 10y
.
2x = 5y
Exercice 8 : Tracer le plus rapidement possible les courbes repr´esentatives des fonctions suivantes :
1
Lyc´ee Pierre-Paul Riquet
Math´ematiques 1-TSI
(a) x 7→ ln(2x) ;
ex
;
2
(f) x 7→ tan(2x).
(b) x 7→ 2x−2 ;
π
;
(e) x 7→ cos x −
4
(d) x 7→ cos(x) + sin(x) ;
Exercice 9 : Calculer les valeurs suivantes :
; (b) tan
(a) cos 145π
6
227π
3
;
(c) x 7→
(c) sin
−91π
4
.
Exercice 10 : Simplifier les expressions suivantes :
(a) A = sin(π + x) + cos x −
π
2
;
(b) B = cos x −
Exercice 11 : Calculer sin(θ) sachant que cos(θ) =
π
2
√
+ cos x +
π
2
;
(c) C = tan
π
2
+ x + tan
π
2
−x .
3−1
et − π2 < θ < 0.
4
Exercice 12 : R´esoudre les ´equations suivantes :
(a) sin(2x) = sin(x);
(b) cos(x) = sin(3x);
(c) sin(x) = − cos(x);
(d) tan(3x − π/5) = tan(x + 4π/5);
√
(e) sin(2x)( 3 + 2 sin(2x)) = 0;
(f) cos2 (x) − 23 cos(x) +
(g) cos(2x) − 3 cos(x) = −2;
(i) 1 +
√
1
2
= 0;
(h) cos(2x) − sin(x) = 1;
3 sin(2x) − cos(4x) = 0; (j)
√
3 tan(x) + 4 sin2 (x) = 0;
(l) 6 cos(2x) − 1 = 6 tan2 (x).
(k) sin(2x) + sin(6x) = sin(4x);
Exercice 13 : R´esoudre l’´equation : cos4 (x) + sin4 (x) = 1.
Exercice 14 : R´esoudre les in´equations suivantes :
(a) cos(x) ≤ −
(c)
√
3
2 ;
(b) sin(2x) ≥ sin(x);
2 cos(x) − 1
≥ 1;
2 sin(x) − 1
(e) cos(x) > cos x −
(d) cos(2x) < cos(x);
π
6
p
; (f) 3 − 4 cos2 (x) > 1 + 3 sin(x).
Exercice 15 : Soient a, b, c trois r´eels positifs tels que : a + b + c = π, cos(a) =
Calculer :
(a) sin(b + c), cos(b + c), tan(b + c) ;
(b) cos(b) cos(c) et tan(b) tan(c) ;
(c) tan(b) et tan(c) sachant que c ∈ 0;
π
2
.
2
√
3 10
10
et sin(b) sin(c) =
√
10
10 .
S = {ln(2)}
Indications
Exercice 4 : Faire un changement de variable.
Solution de l’exercice 5 :
Exercice 13 : On se ram`ene, via un changement de variable, `
a l’´equation X 4 −
2
2X = 0.
1. (a) ch(x) + sh(x) = ex ,
sh2 (x) = 1.
Exercice 15 :
(b) ch(x) − sh(x) = e−x ,
(c) ch2 (x) −
2. ch(x + y) = ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y) et sh(x + y) = sh(x)ch(y) +
ch(x)sh(y).
(a) sin(b + c) = sin(a). Or, nous connaissons cos(a) et on sait que a ∈ [0; π],
puisque a + b + c = π et a, b, c positifs. De la mˆeme fa¸con, connsaissant
sin(b + c), on en d´eduit cos(b + c), donc tan(b + c).
(b) On connaˆıt cos(b + c) et sin(b) sin(c), on en d´eduit donc la valeur de
cos(b) cos(c). En faisant le quotient de sin(b) sin(c) et cos(b) cos(c), on en
d´eduit la valeur de tan(b) tan(c).
Indications et solutions du TD 2
Solution de l’exercice 3 :
Solution de l’exercice 6 :
(c) On d´eduit de la formule pr´ec´edente et de tan(b + c) la valeur de S =
tan(b) + tan(c). On connaˆıt de plus la valeur de P = tan(b) tan(c), donc
tan(b) et tan(c) sont solutions de l’´equation : X 2 − SX + P = 0.
(a) S = {1; 4},
√ ln −1+ 26
1;
.
ln(2)
(b) S =
n
0;
ln(3)
ln(2)
o
,
(c) S =
ln( 13
7 )
ln(6)
,
(d) S =
Solution de l’exercice 1 :
(a) S =
e−
√
e2 +2e−2
e+
;
2
√
e2 +2e−2
2
,
(b) S =
e; e−4 ,
Solution de l’exercice 7 :
(c) S =
(e) S = {1; 3},
(f) S = {0},
(g) S =
{1},
(d) S = 27 ,
√
√
o
n
√
√
1+ 1+4 ln(2)
1− 1+4 ln(2)
ln(1+ 17)
ln(1+ 17)
, (i) S =
;
, (h) S =
;
2
2
2
2
( ln(3) ln(2) )
3
.
a; 1 , (j) S = e ln( 2 )
S=
n
1
;
2
√
5
2
o
.
Solution de l’exercice 12 :
a
Solution de l’exercice 2 :
√
√
i
i
1− 1+4 ln(4)
1− 1+4 ln(4)
,
(b)
S
=
−∞;
(a) S = −∞; ln(2)
∪
;
+∞
,
2
2
2
i
h
e+1
(c) S = − e−1
; 1 ,
(d) S = ]−∞; 0[ ∪ [ln(3); +∞[,
(e) S =
√
i
√ h
2
4
e + e +4
5)
, (f) ln
; +∞ .
−∞; ln(1+
2
2
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
Math´ematiques 1-TSI
π π π
(a) S = 0 [2π]; π3 2π
,
(b) S =
; 2 [π] ,
(c) S =
3 8 4
π
π
π
π
[π]
,
(d)
S
=
0
[π];
[π]
,
(f)
,
(e)
S
=
6
3
2
π
S =
π4
π
π
[2π];
−
[2π];
0
[2π]
,
(g)
S
=
[2π];
−
[2π];
0
[2π]
(h)
3
3
3
3
,
S = 0 [π]; π6 [2π]; 5π
[2π] ,
(i) S = 0 π2 ; − π8 [π] ; 5π
[π] ,
(j)
6 8
π
π
π
π
π
S
=
0
[π];
[π];
[π]
,
(k)
S
=
0
[π];
−
[π]
,
(l)
S
=
;
6 3
4
6
6
π
− 6 [π] ; π6 [π] .

Download Report