Synthèse  Angles orientés - Trigonométrie - ambition

Préparation Terminale S
Première S / mathématiques
Synthèse  Angles
Mme MAINGUY / LFA
1
orientés - Trigonométrie
1. Mesures d'angles orientés de vecteurs non nuls
●


On rappelle que le plan étant muni d'un repère orthonormé O ; i ; j ,
le cercle trigonométrique est le cercle de centre O , de rayon 1 , orienté
dans le sens direct (ou positif, sens inverse des aiguilles d'une montre).
●
A et M étant deux points du cercle trigonométrique, si l est une mesure
de l'arc orienté AM , alors toutes les mesures de cet arc sont de la forme
l  2k , k 
: on note AM  l  2k
k  
ou encore AM  l  2 
qui se lit " l modulo 2 "
v
●
Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté.
Le couple de ces vecteurs  u ; v  est appelé angle orienté.
On considère A et B les points tels que OA  u et OB  v .
Les demi-droites OA  et OB  coupent le cercle trigonométrique
u
respectivement en A et B (voir le schéma ci-contre)
définitions
●
Une mesure de l'angle orienté  u ; v  , en radian, est une mesure de l'arc orienté associé AB du cercle
trigonométrique.
●
La mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure de cet angle orienté qui appartient à  ;   .
exemple et méthode
235
:
3
; l'entier pair le plus proche est 78 . On en déduit alors que : 235  3   78  1 .
Déterminer la mesure principale de 
235  3
78,33
235


235

 78     39  2  . Ainsi : 
   2  .
3
3
3
3
3
235

La mesure principale de 
est  .
3
3
On peut donc écrire : 
propriétés
Soient u ; v ; w trois vecteurs non nuls du plan orienté, k et k  deux réels :
●
u ; u   0
●
Relation de Chasles :
●
u ; v     v ; u 
●
si k et k  sont de même signe,  ku ; k v    u ; v 
●
u ;  u   
●
si k
0 alors  u ; ku   0
●
0 alors  u ; ku   
si k
 u ; v    v ; w   u ; w
●
u ;  v    u ; v   u ; v   
●
●
 u ;  v   u ; v 
si k et k  sont de signes opposés,  ku ; k v    u ; v   
Préparation Terminale S
Première S / mathématiques
exemple 1

Mme MAINGUY / LFA

Placer sur le cercle trigonométrique, les points P du plan orienté, vérifiant OI ; OP  x avec 3x  
exemple 2
Soit  C  un cercle de centre A et B un point de  C  .
2
 2k  ; k 
Construire les points C ; D ; E ; F du cercle  C  tels que :
1/
 AB ; AC   3
2/
 AB ; AE   76
 AB ; AD   34
 AB ; AF    34
Déterminer une mesure en radian puis la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :
 AC ; AE 
 AD ; AF 
 AF ; AC 
 AF ; AE 
2. Cosinus et sinus d'un angle orienté
définitions
● Pour tout réel x , il existe un unique point M du cercle trigonométrique tel que x soit


une mesure de OA ; OM .
 l'abscisse du point M est le cosinus de x , noté cos x ;
 l'ordonnée du point M est le sinus de x , noté sin x .
●

Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté et a , une des mesures de
l'angle orienté  u ; v  . Alors :
cos  u ; v   cos a
et sin  u ; v   sin a
3. Formulaire de trigonométrie
propriété fondamentale
x  , cos2 x  sin 2 x  1
sinus et cosinus des angles usuels
x
0

6
sin x
0
1
2
cos x
1
3
2

4
2
2
2
2

3
3
2
1
2

2
1
0
angles associés


cos   x    sin x
2



sin   x   cos x
2



cos   x   sin x
2



sin   x   cos x
2

cos   x    cos x
sin   x   sin x
cos   x    cos x
cos   x   cos x
sin   x    sin x
sin   x    sin x
2
Préparation Terminale S
Première S / mathématiques
Mme MAINGUY / LFA
exemple
1/ Simplifier les expressions suivantes :




A  sin   x   sin   x 
B  sin   x   cos   x   sin   x 
2
2




2/ Calculer sans calculatrice :
7

3

 
 
 
D  sin 2    cos 2  
E  2cos 2    cos  1
C  cos
 sin  cos
3
6
6
3
4
4
4
 
 
 
Formules d'addition
cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
sin  a  b   sin a cos b  sin b cos a
sin  a  b   sin a cos b  sin b cos a
Formules de duplication
cos 2 x  cos2 x  sin 2 x
cos 2 x  2cos2 x  1
cos 2 x  1  2sin 2 x
sin 2x  2sin x cos x
4. Résolution d'équations trigonométriques
définition et méthode
Une équation trigonométrique est une équation de la forme cos x   ou sin x   .
●
résolution de l'équation cos x  
 on cherche un réel a tel que cos a   ;
 x  a  2k  k 
 l'équation cos x   équivaut à cos x  cos a ; elle a pour solutions : 
 x   a  2k  k 
●
résolution de l'équation sin x  
 on cherche un réel a tel que sin a   ;
 x  a  2k  k 
 l'équation sin x   équivaut à sin x  sin a ; elle a pour solutions : 
 x    a  2k  k 
exemple
 Résoudre les équations suivantes :
●
dans
: cos x 
3
2
●
dans  ;   : cos2 x  1
●
dans
: cos  3x     cos 2x
3

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