TD n°8

Feuille de TD n˚8
MP Lyc´ee Clemenceau
Octobre 2014
Exercice 1 : Soient A et B deux matrices de Mn (K). On suppose qu’il existe un polynˆome non
constant P ∈ K [X] v´erifiant :
AB = P (A) et P (0) 6= 0
Montrer que A est inversible et que A et B commutent.
Exercice 2 : Soient A et B deux matrices de Mn (K). On suppose que A est nilpotente et qu’il existe
un polynˆome P ∈ IR [X] tel que P (0) = 1 et B = AP (A).
Montrer qu’il existe Q ∈ IR[X] tel que Q(0) = 1 et A = BQ(B).
Exercice 3 : Soit A ∈ M3 (IR) telleque A 6= 0et A3 + A = 0.
0 0 0
Montrer que A est semblable `
a 0 0 −1
0 1 0
Exercice 4 : Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L (E) admettant un polynˆ
ome
annulateur P dont le plus petit degr´e de coefficient non nul est 1 (de valuation 1).
que E = Im(u) ⊕ ker(u) et qu’il existe une base B de E o`
u la matrice de u est de la forme
Montrer
A 0
, o`
u A est une matrice carr´ee inversible.
0 0
Exercice 5 : D´emontrer les propri´et´es suivantes en utilisant deux d´emonstrations dont l’une utilise
le th´eor`eme de Cayley-Hamilton et pas l’autre :
a) Si A ∈ Mn (K) est nilpotente, alors An = 0.
b) Si A ∈ Mn (K) est inversible, alors A−1 est un polynˆome en A.
Exercice 6 : Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n > 2.
Soit u ∈ L (E). On suppose que E est le seul sous espace stable par u non r´eduit `a 0.
1) L’endomorphisme u poss`ede-t-il des valeurs propres ?
2) Montrer que pour tout x ∈ E avec x 6= 0, la famille uk (x) k∈[[0,n−1]] est une base de E.
Quelle est la forme de la matrice de u dans cette base ?
3) Montrer que cette matrice ne d´epend pas du choix de x.
Exercice 7 : Soit E un IR espace vectoriel de dimension finie.
On consid`ere u ∈ L (E) tel que u3 = IdE .
D´ecrire les sous espaces stables par u.
Exercice 8 : Trouver les valeurs propres de la matrice suivante

0
1 2 ··· n − 1
 1


(0)
A= 2
 ..
 .
n−1
1
:







Exercice 9 : Soit E un C espace vectoriel de dimension n non nulle. Soit (ei )i∈[[1,n]] une base de E.
Diagonaliser l’endomorphisme f de E d´efini par
∀i ∈ [[1, n − 1]]
f (ei ) = ei+1
et
f (en ) = e1

c
b
, o`
u (a, b, c, e) ∈ IR4 .
a
e
K[X] −→
K[X]
Exercice 11 : D´eterminer les ´el´ements propres de l’endomorphisme ϕ :
P
7−→ P (2 − X)

e
a
Exercice 10 : R´eduire la matrice A = 
b
c
a
e
c
b
b
c
e
a
Exercice 12 : Soit E = C 0 ([0, 1], IR). On consid`ere l’application f d´efinie par
Z 1
E −→ E
f:
min(x, t)u(t) dt
avec ∀x ∈ [0, 1] v(x) =
u 7−→ v
0
Trouver les valeurs et vecteurs propres de f .
Exercice 13 : Th´
eor`
eme de Hadamard - disques de Gerschgorin
Soit M ∈ Mn (C) dont les coefficients sont not´es mij pour (i, j) ∈ [[1, n]]2 .
1) Montrer que si M v´erifie
∀i ∈ [[1, n]]
|mii | >
n
X
|ai,j |
j=1
j6=i
alors M est inversible.

2) En d´eduire que le spectre de A est inclus dans
n
[
i=1

Bf 
aii ,

n
X
j=1
j6=i

|ai,j |
.
Exercice 14 : Soit E un IR espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Montrer que tout endomorphisme u de E admet une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable
par u.
Exercice 15 : Soit A une matrice de M3 (IR) et f ∈ L IR3 dont la matrice dans la base canonique
est A. Soit (a, b, c) ∈ IR3 non nul. On consid`ere le plan P de IR3 dont une ´equation cart´esienne est
ax + by + cz = 0.
1) Soit ϕ la forme lin´eaire d´efinie sur IR3 qui au vecteur ~v = (x, y, z) associe ax + by + cz.
Montrer que P est stable par f si et seulement si ker
(ϕ)⊂ ker (ϕ ◦ f ).
a
En d´eduire que P est stable par f si et seulement si  b  est vecteur propre de la matrice t A.
c
√
√ 
√

1 +√ 3 6 + 3√3 −6 −
2
√ 3

2) Exemple : trouver les sous-espaces stables par f de matrice A = −2√3 1 − 5√3
4 3√ .
−2 3 3 − 5 3 −2 + 4 3
Retrouver le r´esultat `
a l’aide du th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux.
2
Exercice 16 : Matrices stochastiques

2

 ∀(i, j) ∈ [[1, n]]n mij ≥ 0
X
Soit M = (mij ) ∈ Mn (IR) telle que :
(matrice stochastique)
mi,j = 1

 ∀i ∈ [[1, n]]
j=1
1) Montrer que 1 est valeur propre de M .
2) Soit λ une valeur propre complexe de M .
Montrer que |λ| ≤ 1.
Montrer que si tous les coefficients mij sont strictement positifs alors |λ| = 1 ⇒ λ = 1.
a
Exercice 17 : Soit A ∈ Mn (K). On suppose que A admet un polynˆome caract´eristique scind´e `
racines simples.
Trouver l’ensemble des matrices qui commutent avec A.
Exercice 18 : Soient A et B deux matrices carr´ees d’ordre n.
1) Montrer que AB et BA ont les mˆemes valeurs propres.
2) Montrer que si A ou B est inversible, alors AB et BA ont mˆeme polynˆome caract´eristique.
BA −B
0 −B
I
0
3) Dans le cas g´en´eral, on note M =
,N=
et P = n
.
0
0
0 AB
A In
V´erifier que M P = P M , montrer que P est inversible, et conclure.
Exercice 19 : Soit E un C espace vectoriel de dimension finie.
Soit u ∈ L (E).
Montrer que si u est diagonalisable alors u3 est aussi diagonalisable.
Trouver une condition sur les noyaux de u et u3 pour que u3 diagonalisable implique u diagonalisable.
0 A
Exercice 20 : Soit A ∈ Mn (IR) et B =
. D´eterminer le spectre de B en fonction de celui
A 2A
de A.
ecomposition de Dunford
Exercice 21 : D´
Soit A ∈ Mn (C). Montrer qu’il existe deux
diagonalisable, N est nilpotente et DN = N D.

−3
Exercice 22 : Trigonaliser la matrice A = −1
0
matrices D et N telles que A = D + N , D est

4 6
1 3 , en d´eduire les puissances de A.
0 −1
Exercice 23 : Soit A ∈ Mn (IR) telle que A3 = A + In .
Montrer que det(A) > 0.
Exercice 24 : Soit A ∈ Mn (IR) telle que A3 + A2 + A = 0. Montrer que rg(A) est pair.
ome X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 peut-il ˆetre le polynˆome minimal d’une matrice
Exercice 25 : Le polynˆ
de M5 (IR) ?
Exercice 26 : Puissances de A
Soit A ∈ M3 (IR) ayant pour valeurs propres 1, −2, 2, et n ∈ IN.
1) Montrer que An peut s’´ecrire sous la forme : An = αn A2 + βn A + γn I avec αn , βn , γn ∈ IR.
2) On consid`ere le polynˆ
ome P = αn X 2 + βn X + γn .
Montrer que : P (1) = 1, P (2) = 2n , P (−2) = (−2)n .
3) En d´eduire les coefficients αn , βn , γn .
3
Exercice 27 : On consid`ere trois suites r´eelles (un )n∈IN , (vn )n∈IN et (wn )n∈IN d´efinies par r´ecurrence
par la donn´ee de (u0 , v0 , w0 ) ∈ IR3 et

 un+1 = 41 (2un + vn + wn )
vn+1 = 31 (un + vn + wn )
∀n ∈ IN

wn+1 = 14 (un + vn + 2wn )
Calculer un , vn et wn en fonction de n, u0 ,v0 et w0 .
Etudier leurs convergences.
eduction de Jordan
Exercice 28 : R´
Soit f ∈ L (IR3 ) telle que Sp(f ) = {λ} et dim(ker(f − λId))
= 2. 

λ 0 0
Montrer qu’il existe une base B dans laquelle MB (f ) =  0 λ 1 .
0 0 λ
Exercice 29 :
Soit A ∈ Mn (C). Montrer que A est nilpotente si et seulement si pour tout k ∈ IN∗ on a tr(Ak ) = 0.
4

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