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Passage à la limite sous l'intégrale
1
Théorème de convergence dominée
1.1
Enoncé
I désigne un intervalle quelconque.
Soit (fn )n≥0 une suite de fonctions continues par morceaux de I dans C
convergeant simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux et
telle qu'il existe une fonction g intégrable sur I à valeurs dans R+ vériant :
∀n ≥ 0, |fn | ≤ g
Alors
ˆ
lim
n
ˆ
fn =
I
f
I
(fλ )λ∈J où J est un intervalle On a un
résultat analogue si on suppose que fλ (x) tend vers f (x) quand λ tend vers
une borne λ0 de J .
Extension au cas d'une famille
1.2
Premiers exemples
1.2.1
Chapeaux
Chapeau pointu sur 0, n1 de hauteur n.
1.2.2
Plateaux
Plateau large sur [−n, n] de hauteur n1 .
1.2.3
Bosse glissante
fn (x) =
1.2.4
In =
?
´
1
.
1+(x−n)2
Intégrales de Wallis
π
2
0
cosn ; montrer que (In ) converge vers 0 ; démonstration sans le TCVD
1
Réponse
On xe ε > 0 ; on écrit In =
´ε
0
+
´
π
2
ε
; on montre que
∃n0 , ∀n ≥ n0 , 0 ≤ In ≤ 2ε
1.3
L'intégrale de Gauss
Soit un =
´ +∞
0
´ √n 0
e−u du=
2
1.4
1−
√
x2
n
n
dx ; montrer que un =
√
n.w2n+1 ; en déduire que
π
2 .
Une formule pour
Γ
´n
n
Soit x > 0 ; pour n ≥ 1, on pose In = 0 1 − nt tx−1 dt ; montrer que
n!nx
n!nx
In = x(x+1)...(x+n)
; en déduire que Γ (x) = lim x(x+1)...(x+n)
.
n
Méthode
n + 1 intégrations par parties.
1.5
Une suite peu docile
´ 2π
Soit fn (x) = sin nx ; montrer que si 0 < p < q , alors 0 (fp − fq )2 = 2π ; en
déduire que (fn ) n'a pas de suite extraite convergente sur R.
In =
1.6
´1
0
f (t) tn dt
On suppose f continue sur [0, 1] ; montrer que In existe pour n ≥ 0 ; montrer
1
que (In ) tend vers 0 ; avec t = u n , montrer que lim n.In = f (1) ; peut-on en
n
déduire un équivalent de (In ) ?
Réponse
Si f (1) 6= 0, In ∼
2
f (1)
n
; si f (1) = 0, In n1 .
Théorème d'intégration terme à terme
2.1
Enoncé
I désigne un intervalle quelconque.
Soit (un )n≥0 une suite dePfonctions continues par morceaux de I dans C,
intégrables, telle que la série un converge simplement sur IP
, vers
´ une fonction
s continue par morceaux sur I et telle que la série numérique
|un | converge.
I
Alors :
2
s est intégrable sur I et
ˆ
ˆ X
+∞
s=
I
Remarque
2.2
2.2.1
Exemple 1
1
∞
X
ln t
1
dt = ζ (2) =
2
t−1
n
n=1
Exemple 2
ˆ
∞
X
x
3
1
dx = ζ (2) = 2
2
sh (x)
2
n=0 (2n + 1)
+∞
0
Exemple 3
ˆ
1
x−x dx =
0
2.3
un
I
Exemples
0
2.2.3
n=0
Il existe un théorème qui ressemble à celui-là...
ˆ
2.2.2
un =
I n=0
+∞ ˆ
X
∞
X
1
n
n
n=1
Pour s'entraîner à calculer
Montrer que pour tout réel x
ˆ
+∞
2
e−t cos tx dt =
f (x) =
0
1
Γ
2
2
1
x
exp −
2
4
en écrivant cos comme somme d'une série.
Une autre méthode plus rapide
2.4
En calculant la dérivée de f .
Quand ça se complique
Montrer que
ˆ
1
ln 2 =
0
Plus généralement
ˆ
∀x > 0,
0
1
∞
X
dt
(−1)
=
1 + t n=1
n
n−1
∞
n
X
tx−1
(−1)
dt =
1+t
n+x
n=0
3
2.5
Encore un...
Soit θ ∈ ]0, 2π[ ; on veut montrer l'existence et calculer
s (θ) =
´1
part de k1 = 0 tk−1 dt ; on rencontre In =
tend vers 0 et on obtient :
ˆ
s (θ) = Re
0
2.6
1
´1
0
t.e
iθ
n
1−t.eiθ
P∞
k=1
cos kθ
k
; on
dt ; on montre que (In )
eiθ
2 sin θ dt
=
−
ln
iθ
1 − te
2
Complément
Soit (un )n≥0 une suite de foncP
tions continues par morceaux de I dans R+ telle que la série de fonctions un
converge simplement sur I et ait une somme s continue par morceaux intégrable
; alors le théorème s'applique.
Le théorème de convergence monotone
4

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